二重積分換元法證明及推廣新思路

安明松　王旭琴　馮擁武

（1.中國地質大學（北京）地學院，北京　100083；2.中央民族大學數理學院，北京　100081；3.西北民族大學信息學院，甘肅蘭州　730124）

二重積分換元法證明及推廣新思路

安明松1王旭琴2馮擁武3

（1.中國地質大學（北京）地學院，北京100083；2.中央民族大學數理學院，北京100081；3.西北民族大學信息學院，甘肅蘭州730124）

本文考慮到現在很多大學數學教材中省略了越來越多的教學拓展內容，而滿足不了一些學有余力同學對知識的本質探索與追求的現狀之后，綜合前輩們各種巧妙的思路，很基礎地利用對微元體進行穩定體式完全劃分的思想結合n維穩定體體積公式，給出了一種證明二重積分換元法的新思路，并由此展開，對其進行了發散推廣，擴展到三維及 n維的情況。

二重積分換元法微元體積n維穩定體

重積分貫穿著空間解析幾何知識與數學分析知識的綜合應用，其核心的內涵是一種映射，特別是微元部分的轉換。積分域的變換在自變量之間的變換時就已經確定了，積分函數的變化只是將其自變量作相應的變換。抓住微元部分這個突破口，利用變換函數確定微元部分各個頂點的坐標，通過n維空間中的穩定體的體積公式可以計算變換前后的微元部分的相互關系。只要把微元部分按所得關系帶入原來的積分即得換元公式。

1　n維空間穩定體的體積公式及推導

定理：n維空間中的穩定體的體積為：

2　證明二重積分換元公式

定理：設f（x，y）在xoy平面上的閉區域D上連續，變換 T：x=x（u，v）， y=y（u，v）

將uvw平面上的閉區域'D變為xoy平面上的D，且滿足：

圖1　uvw平面上的閉區域'D

圖2　xoy平面上的閉區域D

圖3　

圖4　

（1）x（u，v），y（u，v）在'D上具有一階連續偏導數；

（2）在'D上雅克比式

（3）變換T：'D→D是一對一的，

則有：

證明：如圖1、2所示，表示從uov到xoy的變換。

uov坐標系：'σd=dudv=2h，

xoy坐標系：1M（1x=x（u，v），1y=y（u，v）），2M（x（u，v）+ux（u，v）h+o（h），y（u，v）+uy（u，v）h+o（h））

M3（x（u，v）+xu（u，v）h+xv（u，v）h+o（h），y（u，v）+yu（u，v）h+yv（u，v）h+o（h））

M4（x（u，v）+xv（u，v）h+o（h），y（u，v）+yv（u，v）h+o（h））n維空間中的穩定體的體積公式中取n=2 ，則有：

圖5　

3　二重積分換元公式的推廣

3.1三重積分換元公式

定理：設變換T：x=x（u，v，w），y=y（u，v，w），z=z（u，v，w）把uvw空間中的區域'Ω一對一地映成空間區域Ω，并設函數x（u，v，w），y（u，v，w），z（u，v，w）及它們的一階偏導數在'Ω內連續且行列式

證明：主要思路已經給出，現在著手計算體積微元，體積微元如下圖（圖3是'dV，圖4是dV）對應關系。

uvw坐標系：3A（u，v，w），3B（u，v+dv，w）3C，（u+du， v+dv），3D（u+du，v，w），4A（u，v，w+dw）

B4（u，v+dv，w+du），C4（u+du，v+dv，w+dw），D4（u+du，v，w+dw），dV'=dudvdw

同理應用n維空間中的穩定體的體積定理，取n=3，則有：

同理可證：

3.2n重積分的換元公式的推導

f （nxxx，，，21…）在Ω上可積，則

為了計算（實際上所有合法的穩定體體積都相等），取以下特殊點：

A1（x1（u1，u2，…，un），x2（u1，u2，…，un），...，xn（u1，u2，…，un）），An+1（x1（u1+du1，u2+du2，…，un+dun），x2（u1+du1，u2+du2，…，un+dun），...，xn（u1+du1，u2+du2，…，un+dun））。

故n重積分換元公式得證。

［1］陳志杰.高等代數與解析幾何上冊［M］.高等教育出版社，2000.

［2］李小平.n維空間中距離公式、穩定體體積公式以及勾股定理的拓廣［J］.http：//www.docin.com/p-362313297.html，2012.3.15.

［3］馮文強，楊漢生.二重積分換元法的另一種證法及推廣［J］.西南科技大學《高教研究》，2006，（4）：69-74.

［4］同濟大學數學系.高等數學（下）［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2007.

［5］張筑生.數學分析新講第二冊［M］.北京：北京大學出版社，1990（2010.4重印）.331-370.

［6］陳兆斗，褚寶增.高等數學（下冊）［M］.北京：北京大學出版社，2008. 99-104.

［7］陳兆斗，鄭連存，王輝，李為東.大學生數學競賽習題精講［M］.北京：清華大學出版社，2010.59-119.

In this paper， considering the many university mathematics textbook omitted expand more and more teaching content， and there is spare capacity can not meet some of the students on the current situation after the nature of exploration and the pursuit of knowledge， integrated predecessors variety of ingenious ideas， very basic use of the micro unit stabilized completely divided ideological postures combined n-dimensional stable body volume formula gives a proof of Double Integral element new ideas， and thus expanded its divergence promotion， expansion to three-dimensional and n-dimensional case.

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