二元光滑函數芽在奇點處分岔解支數目的拓撲度公式

李　強，馬麗麗

(齊齊哈爾大學理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

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二元光滑函數芽在奇點處分岔解支數目的拓撲度公式

李強，馬麗麗

(齊齊哈爾大學理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

討論了二元光滑函數在奇點處的分岔解支數目問題.在孤立奇點的假設下，給出了通過拓撲度計算二元光滑函數芽的分支解數目的一個公式.

奇點；分岔解；拓撲度

0　引言

非線性方程解的存在性問題是非線性分析、微分方程、分歧理論等領域的重要研究課題.方程F(x)=0 的可能分歧點是F的奇點，根據奇點理論中映射芽的有限決定性方法，能夠對可微分映射F進行分類，進而通過對與F強等價類的戈魯比茨基-沙弗(GS)范式進行討論，給予F在奇點附近的解的分歧問題以有力的回答.對于映射芽的強、弱決定性參見文獻[1-2].

拓撲度理論是研究非線性算子定性理論的有力工具，它在研究奇重特征根所產生的分歧問題中有著十分重要的應用.本文主要考慮有限維空間上的拓撲度，即Brouwer度.Brouwer度的引入方式有很多，最早起源于代數拓撲中關于不動點的研究，之后在不同的角度建立了Brouwer度，但所得到的結果是一致的.

1　預備知識

(1.1)

(1.2)

由于原點為函數G|N的臨界點，則由(1.2)式有

(1.3)

(1.4)

即

由(1.4)式，

(1.5)

對任意的x∈U，

由(1.3)式得

結合(1.1) 與(1.5)式得

從而引理得證.

令M為1維帶邊緊流形，則M的邊界?M為有限集. 若G:M→R為光滑函數，設函數G在M內有有限個臨界點，且均為非退化臨界點. 記

其中C表示G在M內的臨界點集.

引理1.3設函數G滿足如下條件：

則有

圖1　引理1.3示意圖

引理 1.3的示意圖見圖1.如圖1所示，

即

.

2　主要結果

對于前文所述的F，G，H及區域X，有如下計算公式.

(2.1)

(2.2)

記d為映射x‖‖的Brouwer度，由拓撲度的定義及(2.2) 式，m1-m2=d. 顯然，若y在原點臨近且趨近于G，則，且于是函數滿足引理 1.3 的條件，因而

根據(2.1)式，

定理得證.

由定理2.1有

3　舉例

圖的解曲線

使得

于是

從而

[1]陳亮，孫偉志，裴東河. 映射芽的強相對有限決定性 [J]. 東北師大學報(自然科學版)，2004，36(4)：16-20.

[2]石昌梅，裴東河. 光滑函數芽的弱決定性 [J]. 東北師大學報(自然科學版)，2013，45(3)：1-4.

[3]周鹍. 奇點處分岔解支的數目問題 [J]. 應用數學和力學，1997，18(10)：905-909.

[4]FUKUDA T，AOKI K，SUN W Z. On the number of branches of a plane curve germ[J].Kodai Mathematical Journal，1986，9(2)：179-187.

[5]FUKUI T. An algebraic formula for a topological invariant of bifurcation of 1-parameter family of function-germs[J]. Stratifications，singularities，and differential equations，1990，55：45-54.

(責任編輯：李亞軍)

A formula of topological degree for the number of bifurcation solutions of binaryC∞function germ singularities

LI Qiang，MA Li-li

(School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China)

A formula of topological degree for computing the number of branches of binaryC∞function germs，which having an isolated singular point，is presented.

singularity;bifurcation solution;topological degree

1000-1832(2016)03-0030-05

2015-05-10

黑龍江省科學基金項目資助(QC2016008).

李強(1980—)，男，博士，講師，主要從事基礎數學研究.

O 177.5[學科代碼]110·57

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.007