帶電粒子在正交的重力場和磁場中運動探悉＊

2015-10-29 07:03:12張爭光

物理通報 2015年5期

張爭光

（咸陽師范學院陜西咸陽 712000）

帶電粒子在正交的重力場和均勻磁場中運動軌跡，一般來說比較復雜，通常要對粒子的動力學進行分析入手，運用牛頓第二定律列出微分方程來求解.該求解過程對數學要求比較高，而且往往把問題的物理原理湮滅在紛繁復雜的數學推導中，使得學生的物理思維和物理圖像模糊不清，即使得到了正確的答案，也不能深入地理解其內涵和實質.出現知其然，而不知其所以然的尷尬情景.然而，在近年的高考中，該類問題卻成為壓軸題命題的一個熱點類型，比如2013年福建高考的第22題，2008年江蘇第14題等.因此本文就粒子豎直入射的情況下，在相互垂直的重力場和磁場中粒子的運動進行分析，探討粒子的運動規律，揭示其所蘊藏的美妙的物理結論.

問題：如圖1所示，空間存在一個范圍足夠大的垂直于xOy平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，讓質量為m，帶正電q的粒子從坐標原點O點沿y正向入射，初速度為v0，重力加速度為g，請對該粒子運動的規律予以討論.

分析：帶電粒子從原點豎直向下射入，除了有重力的作用之外，粒子在向下運動的過程中也會受到洛倫茲力的作用，因此合外力的方向不斷變化，物體將做曲線運動，過程復雜而難以直接使用牛頓第二定律來分析.如果堅持使用牛頓定律來求解，就應該用到微分方程，這對于中學生的物理學習來說顯然是不妥當的，因此本文采用中學生可以理解的運動合成與分解的方法來探討.

圖1

探討1：帶電粒子究竟應做什么運動？

首先我們將初速度水平方向的零分量分解成等大反向的矢量之和，即0＝v1＋（－v1），如圖2所示.且使得v＝，因此可以矢量法則求得v的值，即12

圖2

這樣一來初速v0就可以分解成v1和v2，因而粒子受到的洛倫茲力被分成兩部分f1和f2.因此帶電粒子在整個運動過程中，看成受到3個力的作用：1個重力，兩個洛倫茲力f1和f2.分速度v1使粒子受到的洛倫茲力f1正好和重力等大反向，相互抵消，將以速度v1沿x軸做勻速直線運動；與此同時，分速度v2使粒子受到的洛倫茲力f2的作用，將以繞回轉中心O′做勻速圓周運動.綜上所述，帶電粒子的運動可以看成兩個分運動的疊加，一個分運動是以v＝沿軸做勻速直線運動；另一個分運動是在1xOy平面內做以速率大小為v2＝的勻速圓周運動.這兩部分疊加的實際運動的軌跡是一條復雜的曲線，該粒子的分運動方程可以表示如下：

第一分運動的運動方程為

第二分運動是勻速圓周運動，此分運動的速率為

回轉的半徑為

回轉中心O′坐標為

回轉的角速度為

第二分運動的運動方程為

由于兩個分運動合成，故將式（1）和（2）相加可以得到粒子在正交重力場和磁場中的運動軌跡方程

其中

依據該運動參數方程用軟件畫圖，得到圖3中的虛線就是粒子運動的軌跡，可見該軌跡是一條沿x軸方向延伸的長輻擺線.該圖像也進一步說明帶電粒子一方面在xOy平面內繞回轉中心做勻速圓周運動，同時又隨著回轉中心沿x方向做勻速直線運動.使用這種運動合成的方法，學生對物理圖像就會比較清楚，理解比較深入.不會出現求解微分方程以后，只有從數學運算的結果中確認帶電粒子的運動軌跡，卻不能深入理解為什么粒子會這樣運動的情況.