對均勻系統(tǒng)任意準(zhǔn)靜態(tài)過程熱容量的討論

對均勻系統(tǒng)任意準(zhǔn)靜態(tài)過程熱容量的討論*

胡小芳高文峰劉 滔林文賢

(云南師范大學(xué)太陽能研究所云南 昆明650500 )

基金項(xiàng)目*國家自然科學(xué)，編號：11072211,51266016;高校博士點(diǎn)專項(xiàng)

作者簡介：胡小芳(1990-)，女，碩士研究生，主要從事太陽能熱利用及計(jì)算流體力學(xué)方面研究．

通訊作者：高文峰(1970-)，男，副教授、研究生導(dǎo)師，主要從事太陽能熱利用及計(jì)算流體力學(xué)方面研究．

收稿日期：(2014-10-23)

摘 要：本文對實(shí)際氣體(范氏氣體)和理想氣體的熱容量進(jìn)行了討論，從理論推導(dǎo)、微元、宏觀三個方面對熱容量的取值進(jìn)行了詳細(xì)的討論．最后清晰地得到了熱容量的取值范圍及其變化規(guī)律，熱容量在任意準(zhǔn)靜態(tài)過程中可取-∞到+∞間任意實(shí)數(shù)．

關(guān)鍵字：熱容量理想氣體實(shí)際氣體

1引言

熱量是一個與過程有關(guān)的物理量．系統(tǒng)在某一過程中溫度升高1 K所吸收的熱量，稱作系統(tǒng)在該過程的熱容量．熱容量C在熱現(xiàn)象理論中是極其重要的量．它在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論中能從微觀推導(dǎo)和解釋．熱運(yùn)動在宏觀性質(zhì)上最直接的表現(xiàn)就是熱容量，對熱容量的深入研究，可以探討物質(zhì)微粒的熱運(yùn)動規(guī)律；反過來用物質(zhì)微粒的運(yùn)動規(guī)律，又可解釋熱容量的有關(guān)實(shí)驗(yàn)事實(shí)．但是熱容量很容易引起誤解：系統(tǒng)升溫必然要吸取熱量,因而給教學(xué)帶來一些不便．如學(xué)生對“系統(tǒng)吸熱溫度是升高還是降低”、“熱容量為何會出現(xiàn)負(fù)值”等問題．總是搞不清楚．究其原因，主要是對熱容量C的概念理解,沒認(rèn)識到熱容量C是與過程有關(guān)的一個量．所以本文就對任意準(zhǔn)靜態(tài)過程中的熱容量進(jìn)行了討論，主要對理想氣體和實(shí)際氣體熱容量的取值范圍進(jìn)行分析．

2實(shí)際氣體的熱容量

2.1熱容量的一般計(jì)算公式

我們以范德瓦爾斯氣體(簡稱范氏氣體)為例討論實(shí)際氣體的熱容量．為了方便，我們討論1 mol范氏氣體在均勻系統(tǒng)下任意準(zhǔn)靜態(tài)過程中的熱容量．根據(jù)摩爾熱容量的定義及熱力學(xué)第一定律得[1]

(1)

(2)

由式(1)和式(2)得

(3)

由范氏氣體物態(tài)方程(范氏方程)得

(4)

兩邊同時求導(dǎo)得

(5)

整理得

(6)

推導(dǎo)出

(7)

(8)

(9)

(10)

由j的定義與式(7)、(9)、(10)得

(11)

將式(11)代入式(3)得

(12)

下面討論在p-v圖上如何直觀地判斷哪些過程的熱容量為正、為負(fù)、為零、或出現(xiàn)正負(fù)轉(zhuǎn)換．

2.2微元過程

(13)

式(12)為p-v圖上任一點(diǎn)A(p,v)的任意一個微元過程摩爾熱容量的一般計(jì)算公式，它不僅可以直接判斷過A點(diǎn)的任一微元過程熱容量的正負(fù)，且可以畫出Ci隨Ki的變化關(guān)系曲線，從而很直觀清晰地得到熱容量的取值范圍．

如圖1 以Ci為縱坐標(biāo)，Ki為橫坐標(biāo) ，畫式(12)所表示的Ci-Ki曲線，如圖所示，這是以Ki=KTA和Ci=Cv為漸近線的等軸雙曲線．圖中表示出了熱容量Ci隨過A點(diǎn)的不同變化：

(1)當(dāng)KiA由-增大到KTA時，Ci由Cv減小到 -(其中當(dāng)KiA=KSA時Ci出現(xiàn)了正負(fù)轉(zhuǎn)換)；

(2)當(dāng)KiA由KTA增大到+時，Ci由 +減小到Cv(其中當(dāng)KiA=KTA時Ci出現(xiàn)了負(fù)正轉(zhuǎn)換)；

以上說明了，熱容量Ci可取 -到 +間的任意實(shí)數(shù)．

圖1　 C i- K i圖

2.3宏觀過程

對任意一個可在p-v圖上用光滑曲線表示的宏觀過程中Ci的正、負(fù)或零變化情況的判斷，據(jù)以上陳述，可有以下法則.

(1)如過程曲線上各點(diǎn)的斜率Ki都滿足Ki>KT或Ki

(2)如過程曲線上各點(diǎn)的斜率Ki都滿足KS

(3)如過程曲線在某點(diǎn)A點(diǎn)斜率KiA=KTA或KiA=KSA，則該過程中Ci在A點(diǎn)出現(xiàn)正負(fù)轉(zhuǎn)換；

3理想氣體的熱容量

3.1熱容量的一般計(jì)算公式

其中γ為絕熱比，所以由式(12)可得

(14)

3.2微元過程

(2)當(dāng)Kia=KQa時Ci=0；

(3)當(dāng)KTa>Kia>KQa時,Ci<0；

(4)當(dāng)Kia=KTa時，Ci=±；

3.3宏觀過程

對任意一個可在p-V圖上用光滑曲線表示的宏觀過程Ci的正、負(fù)變化情況的判斷，可用以下法則[5].

(1)如過程曲線上各點(diǎn)的斜率Ki都滿足Ki>KT或Ki

(2)如過程曲線上各點(diǎn)的斜率Ki都滿足KQ

(3)如過程曲線在某點(diǎn)a點(diǎn)斜率Kia=KTa或Kia=KQa，則該過程中Ci在a點(diǎn)出現(xiàn)正負(fù)轉(zhuǎn)換；

4總結(jié)

通過對實(shí)際氣體從理論推導(dǎo)、微元過程、宏觀過程3方面的分析，我們得到了實(shí)際氣體熱容量的變化規(guī)律和取值范圍，實(shí)際氣體的熱容量Ci可取 -∞到 +∞間的任意實(shí)數(shù),且對于范氏氣體而言，當(dāng)KiA由-∞增大到KTA時，Ci由Cv減小到-∞(其中當(dāng)KiA=KSA時，Ci出現(xiàn)了正負(fù)轉(zhuǎn)換)； 當(dāng)KiA由KTA增大到+∞時，Ci由 +∞減小到Cv(其中當(dāng)KiA=KTA時Ci出現(xiàn)了負(fù)正轉(zhuǎn)換)．同理，對理想氣體熱容量的變化，也是通過理論推導(dǎo)、微元過程、宏觀過程3個方面進(jìn)行分析，得到的熱容量的取值范圍也是從-∞到 +∞間的任意實(shí)數(shù)，且它的變化規(guī)律如下：當(dāng)Ki由-∞增大到KT時，Ci由Cv減小到-∞(當(dāng)Ki=KQ時Ci出現(xiàn)了正負(fù)轉(zhuǎn)換)；當(dāng)Ki由KT增大到+∞時，Ci由+∞減小到Cv(其中當(dāng)Ki=KT時Ci出現(xiàn)了負(fù)正轉(zhuǎn)換)．通過以上規(guī)律可以得到熱容量在任意準(zhǔn)靜態(tài)過程中可取-∞到+∞間任意實(shí)數(shù)．

參 考 文 獻(xiàn)

1秦允豪. 熱學(xué)(第二版). 北京：高等教育出版社，2004. 40 ～ 43

2林宗涵．熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理．北京：北京大學(xué)出版社，2007．105

3胡維平.理想氣體任意準(zhǔn)靜態(tài)過程的摩爾熱容量.物理學(xué)報(bào)，1988

4Michael Plischke，Birger Bergersen．Equifibrium Statistical Physics．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.35～37

5謝名春．熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理．成都：電子科技大學(xué)出版社，1999.95～96

6趙凱華，羅蔚茵.新概念物理敦程：力學(xué).北京：高等教育出版社，2000.35～37

7王少杰，顧牡. 基礎(chǔ)物理學(xué)(2005年版) . 上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2005.175～178

Discussion on Heat Capacity of

Any Quasi-static Process in Uniform System

Hu XiaofangGao WenfenLiutaoLin Wenxian

(Yun Nan Normol University Institute of Sdar Energy,Kunming,Yunnan650500)

Abstract：In this paper, the actual gas (Van der Waals gas) and heat capacity of ideal gas are discussed, from the theoretical derivation, the micro and macro three aspects of the discussion of the heat capacity values in detail,finally clear to get the value range of heat capacity and its change rule, the heat capacity can get any numbers between-∞ and +∞ in quasi-static process .

Key words:Heat capacity; ideal gas; real gas