任意梯形孔徑的夫瑯和費衍射＊

羅宏超

（沈陽航空航天大學理學院 遼寧 沈陽 110136）

成泰民

（沈陽化工大學 數理系 遼寧 沈陽 110142）

1 引言

衍射現象是光傳播過程中的一種基本現象，是光的波動性重要體現，在實際中有很多重要應用：如孔徑形狀檢測，微小物體形狀識別等［1～4］.值得注意的是，在衍射過程中，孔的形狀與衍射斑并不完全相像，隨孔的形狀不同衍射干斑形狀會發生明顯的變化，因此了解孔的形狀與衍射干斑形狀之間關系就顯得十分重要.

從基爾霍夫衍射理論公式出發，推導了任意梯形孔的Fraunhofer衍射光強分布特征，進而找出了不同的梯形孔在屏幕上出現的Fraunhofer衍射圖樣的規律，并可以擴展到矩形、平行四邊形等形狀，具有一定代表性，對透徹理解Fraunhofer衍射規律具有重要意義.

2 不同梯形孔的Fraunhofer衍射強度

任意形狀孔的Fraunhofer衍射可采用基爾霍夫衍射理論公式

其中，UP（X，Y）是在屏幕上任意點P（X，Y）的電磁波函數的值，r是孔的某一微小面源至屏上的點P（X，Y）為止的距離，k是光的波矢值，C是與光源和觀察點位置相關的一些物理量來確定的復常數.

圖1 梯形孔與屏上各點的坐標表示

根據圖1的幾何關系，經簡化可得

其中

對于任意的梯形孔而言

在屏幕上任意點（X，Y）的光的強度為

在屏幕中央點（0，0）上的光的強度為

計算積分式（3），代入式（4）、（5）可以得到在屏幕上任意點（X，Y）的光的相對強度為

其中

當a1－a2＝2a時，由式（6）可以回歸到平行四邊形孔情形，當a2＝－a；a1＝a時，由式（6）可以回歸到矩形孔情形.因此，可以利用式（6）模擬任意形狀的梯形孔在屏上的Fraunhofer衍射圖樣.

3 不同的梯形孔在屏上的Fraunhofer衍射圖樣的模擬

根據式（6），并利用 Mathematica軟件中的DensityPlot函數［5～7］模擬了不同的梯形孔在屏上產生的Fraunhofer衍射圖樣，并以明暗表示二元函數值，如表1所示.

表1 不同梯形孔在屏上產生的Fraunhofer衍射圖樣

4 結論

根據表1的10張圖可知，梯形孔的形狀與Fraunhofer衍射圖樣之間的對應規律如下：

（1）不共線梯形的不同的邊在單孔Fraunhofer衍射中，對屏幕處產生的衍射圖樣起很大的作用.明暗相間的衍射條紋與對應梯形的平行的兩邊垂直［如表1中圖（1）～（5）］，對于不平行且不相鄰的兩邊，將在兩邊各自垂直的方向上出現衍射亮紋［如表1中圖（6）～（10）］.中央亮紋強度最大，強度隨著級數的增加，迅速減弱.

（2）明暗相間的衍射條紋的寬度與兩平行邊之間的距離密切有關，兩平行邊之間的距離越小，對應的與平行邊垂直方向的衍射條紋越寬，平行方向的越窄.

（3）只要梯形孔中有兩條邊平行，就會出現明暗相間的條紋.當兩條邊互不平行時，與梯形中不平行各邊垂直的方向上出現連續的亮紋［如表1中圖（7）～ （10）］.

1 姚啟鈞著.光學教程.北京：高等教育出版社，1989.94～151

2 馬科斯.玻恩，埃米爾.沃爾夫著.光學原理 上冊.北京：電子工業出版社，2005.342～428

3 羊國光，宋菲君編著.高等物理光學.合肥：中國科學技術大學出版，2008，87～103

4 Eugene Hecht，Optics，4thed.（Addison－Wesley，New York，2002），447～464

5 Stephen Wolfram.Mathematica.（Addison－Wesley，New York，1993），134

6 丁大正著.Mathematica4教程.北京：電子工業出版社，2002

7 成泰民，曹連剛.不同三角形孔的Fraunhofer衍射圖樣模擬.廣西物理，2010，31（1）：33～36