正多面體的轉(zhuǎn)動慣量＊

邱為鋼

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000）

張 萍

（北京師范大學(xué)物理學(xué)系 北京 100875）

轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算是大學(xué)物理教學(xué)中一類典型題目，文獻(xiàn)［1～3］給出了橢圓環(huán)、圓錐、園臺等物體的轉(zhuǎn)動慣量.這些物體都具有圓柱對稱性，那么，具有點(diǎn)群對稱性的正多面體轉(zhuǎn)動慣量怎么計(jì)算？文獻(xiàn)［4］給出了5種正多面體的轉(zhuǎn)動慣量，科學(xué)計(jì)算軟件Mathematica 8.0多面體軟件包PolyhedronData中的InertiaTensor指令也給出了各種多面體的轉(zhuǎn)動慣量.正多面體可以由桿（線段）、面、體組成，或者說，質(zhì)量分別均勻分布在頂點(diǎn)、棱、表面或體內(nèi)，這種情況下，多面體的轉(zhuǎn)動慣量如何表示？我們給出了桿、三角形和四面體轉(zhuǎn)動慣量的頂點(diǎn)坐標(biāo)表示［5］.由文獻(xiàn)［4］的推論可知，正多面體的轉(zhuǎn)動慣量最終表示與坐標(biāo)軸的取向無關(guān)，與各點(diǎn)坐標(biāo)方式表示無關(guān)，只與幾何量有關(guān).這樣一來，就可以選取一個(gè)最容易計(jì)算的正多面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)表示，把正多面體剖分為點(diǎn)、線段、三角形和四面體，再組合起來，得到正多面體的轉(zhuǎn)動慣量.

根據(jù)桿、三角形和四面體內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)表示，由轉(zhuǎn)動慣量的積分定義得到如下結(jié)論［5］，設(shè)桿的兩個(gè)端點(diǎn)對應(yīng)的向量為ri＝ （xi，yi，zi），i＝1，2，那么桿對z軸的轉(zhuǎn)動慣量是

設(shè)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的向量為ri＝（xi，yi，zi），i＝1，2，3，則三角形板對z軸的轉(zhuǎn)動慣量是

設(shè)四面體的4個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的向量為：ri＝ （xi，yi，zi），i＝1，2，3，4，則四面體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量是

以上物體，對x，y軸的轉(zhuǎn)動慣量，由指標(biāo)x，y，z輪換得到.

表1 正多面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)

續(xù)表

由轉(zhuǎn)動慣量的坐標(biāo)表示（1 2 3 式以及表1給出的多面體頂點(diǎn)坐標(biāo)，對多面體進(jìn)行合理的剖分.計(jì)算得到質(zhì)量分別均勻分布在多面體各個(gè)頂點(diǎn)，各條棱、各個(gè)面和體內(nèi)的轉(zhuǎn)動慣量，如表2所示.

表2最后一列的數(shù)據(jù)與Mathematica多面體軟件包PolyhedronData中InertiaTensor指令和文獻(xiàn)［4］給出的轉(zhuǎn)動慣量完全一致.

與文獻(xiàn)［4］所用的幾何和積分方法相比，我們所用的坐標(biāo)表示方法更加簡明，而且容易編程計(jì)算.

表2 正多面體的轉(zhuǎn)動慣量

對于Mathematica多面體軟件包Polyhedron－Data中其他多面體，有興趣和時(shí)間的讀者不妨用我們的方法算一算，這兒就不詳細(xì)探究了.順便說一下，Mathematica計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量用的是直接積分方法，借助了PolyhedronData中的RegionFunction選項(xiàng)和Boole函數(shù).當(dāng)然，實(shí)際物體不大可能呈現(xiàn)正多面體形狀，這些物體的轉(zhuǎn)動慣量張量的計(jì)算，可以沿用文獻(xiàn)［5］的思路，三角形或四面體剖分，利用三角形或四面體轉(zhuǎn)動慣量的坐標(biāo)表示，直接求和計(jì)算，這大大簡化了手工計(jì)算的難度.

1 趙新聞，周欣然，楊兵初.橢圓環(huán)剛體的轉(zhuǎn)動慣量.大學(xué)物理，2008，27（6）：13～14

2 樓智美.巧算常見均質(zhì)旋轉(zhuǎn)體對母線的轉(zhuǎn)動慣量.大學(xué)物理，2003，22（11）：26～27

3 樓智美.均質(zhì)旋轉(zhuǎn)面繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量.大學(xué)物理，2009，28（12）：22～24

4 劉甲剛，嚴(yán)云玲.均質(zhì)正多面體主慣量軸和主矩.陜西工學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，12（1）：78～83

5 邱為鋼.轉(zhuǎn)動慣量的坐標(biāo)表示.物理通報(bào)，2014（2）：16～18