基于加速度反饋的單輸入時不變線性離散系統極點配置

梁　青　王　珍　潘金文　彭　程

中國科學技術大學，合肥，230026

基于加速度反饋的單輸入時不變線性離散系統極點配置

梁青王珍潘金文彭程

中國科學技術大學，合肥，230026

討論了單輸入時不變線性離散系統用加速度信號進行極點配置的可行性。首先, 給出了用狀態差分反饋進行極點配置的定理和算法; 其次, 用3個仿真實例驗證了該算法的有效性；最后, 在隔振器實驗平臺上驗證了用加速度信號進行反饋控制的可行性。

線性離散系統; 加速度反饋; 狀態微分反饋; 狀態差分反饋; 極點配置

0　引言

極點配置是線性系統設計最重要的工具之一[1-4]。用狀態反饋實現極點配置是用狀態空間描述的線性系統(連續或離散)控制器設計的有效手段,學者們對此已經做了大量研究工作[1-2,4-7]，在這些研究中,假設系統的全部狀態可測,即全狀態反饋。對于狀態不能直接可測的系統,通過構建全維或降維漸近狀態觀測器得到系統狀態的觀測值,并用觀測狀態實現狀態反饋,增加系統的階次。對于線性連續系統,一種特殊的狀態反饋——狀態微分反饋近年來受到學者們的廣泛關注,其實質是利用加速度信號實現反饋,這方面已有較多的研究成果[8-15]。文獻[12-13]分別討論了單輸入和多輸入線性系統極點配置問題的求解算法。文獻[14]給出了用狀態微分反饋以及輸出微分反饋設計LQR(linear quadratic regulator)的方法。而對于線性離散系統,利用加速信號實現狀態反饋的研究還未見報道。

在經典控制理論中,微分可以增加系統阻尼,為實現預期控制目標，微分反饋有時是必不可少的[8],而研究狀態微分反饋的另一個動機來源于減振機械系統[9-11],其主要的傳感器是加速度計。由加速度可以很容易地在可接受的誤差范圍內獲得速度信號,但由于加速度計的測量誤差及測量噪聲干擾,由加速度獲得位移信號會存在較大的誤差，因而可用于反饋的信號只有加速度和速度信號,它們分別對應于機械系統速度和位移的微分,即狀態微分。在離散系統框架下,加速度和速度對應于狀態的差分。

本文主要研究單輸入時不變線性離散系統的加速度反饋極點配置問題。首先對問題進行數學描述，使用線性變換將一般線性離散系統變換為具有能控標準型的系統；其次討論了能控標準型系統狀態差分反饋極點配置問題以及一般線性離散系統狀態差分反饋極點配置問題的解,給出了狀態差分反饋極點配置定理。再次,給出了減振器系統、球桿系統以及雙積分系統的狀態差分反饋控制仿真結果,驗證了所提算法的正確性和有效性。最后,在實際隔振器實驗平臺上驗證了用加速度信號進行反饋控制的可行性。

1　加速度反饋極點配置問題的描述與能控標準型系統

1.1問題描述

考慮能控的單輸入時不變線性離散系統為

x(k+1)=Gx(k)+hu(k)x(0)=x0

(1)

其中，x(k)是狀態變量,x(k)∈Rn×1;u(k)是控制量,u(k)∈R1×1;G是系統矩陣,G∈Rn×n;h是控制增益向量,h∈Rn×1。用加速度的采樣值實現反饋控制，即

u(k)=-ksa(k)

(2)

其中，ks是加速度反饋增益向量,ks∈R1×n;a(k)為加速度的采樣值以及計算得到的速度采樣值,a(k)∈Rn×1。為研究其極點配置問題,有

u(k)=-ks(x(k+1)-x(k))/Ts=

-k(x(k+1)-x(k))

(3)

其中,Ts是采樣周期;k是差分反饋增益,k=(k0,k1,…,kn-1),并有ks=kTs。則極點配置問題變成狀態差分增益向量k的求解問題。系統矩陣G的特征多項式為

det(zI-G)=zn+g0+g1z+g2z2+…+gn-1zn-1

(4)

其中,z為變換算子，I為單位矩陣,I∈Rn×n。定義g(g∈R1×n)為系統矩陣G的特征多項式系數，g=[g0g1…gn-1]。設計的目標是通過式(3)的狀態差分反饋將閉環系統的極點配置到期望的位置上，以穩定系統并使系統具有期望的動態特性。此時,閉環系統為

x(k+1)=Gx(k)-hk(x(k+1)-x(k))

(5)

通過選擇k使矩陣I+hk滿秩,則閉環系統可以寫成

x(k+1)=(I+hk)-1(G+hk)x(k)

(6)

閉環系統的特征多項式為

det(zI-Gc)=det(zI-(I+hk)-1(G+hk))

(7)

Gc=(I+hk)-1(G+hk)

其中,Gc是閉環系統的系統矩陣。設計的問題就是通過尋找狀態差分反饋增益向量k，使得閉環系統(式(6))的極點在期望的位置上。

1.2能控標準型系統

采用文獻[12]的算法,對原系統(式(1))進行非奇異狀態變換:

(8)

其中,z(k)是變換后的狀態向量,z(k)∈Rn×1;Q-1是變換矩陣,Q-1∈Rn×n,設變換后的系統矩陣為Gf,控制增益向量為hf,則有

(9)

變換矩陣的選取如下:

Q-1=[qq Gq G2…q Gn-1]T

(10)

(11)

(12)

其中,向量q∈R1×n；en是單位向量；Mc是原系統(式(1))的能控性矩陣。

變換后的系統是下友型能控標準型系統：

z(k+1)=Gfz(k)+hfu(k)

(13)

該下友型能控標準型系統能夠簡化基于狀態差分反饋控制的極點配置問題的求解過程。

2　極點配置問題的解

2.1下友型能控標準型系統問題的解

系統(式(13))的狀態差分反饋為

u(k)=-l(z(k+1)-z(k))

(14)

l=[l0l1…ln]

式中，l為狀態差分反饋向量；li為第i個狀態差分反饋系數，i=0,1,…,n。

其中,重寫控制律(式(14))為

u(k)=-l0(z1(k+1)-z1(k))-l1(z2(k+1)-

z2(k))-…-ln-1(zn(k+1)-zn(k))

(15)

由式(13)易得

(16)

將式(15)代入式(16)的最后一式并利用狀態之間的關系,可得

zn(k+1)=-g0z1(k)-g1z2(k)-…-gn-1zn(k)+

l0z1(k)-(l0-l1)z2(k)-(l1-l2)z3(k)-

…-ln-1zn(k+1)=-(g0-l0)z1(k)-

(g1+l0-l1)z2(k)-(g2+l1-l2)z3(k)-

…-(gn-1+ln-2-ln-1)zn(k)-ln-1zn(k+1)

(17)

若1+ln-1≠0,則式(17)可以寫成標準狀態方程：

zn(k+1)=-(1+ln-1)-1[(g0-l0)z1(k)+

(g1+l0-l1)z2(k)+…+(gn-1+ln-2-ln-1)zn(k)]

(18)

則下友型標準型的狀態差分反饋閉環系統為

z(k+1)=Gcfz(k)

(19)

Gcf=

由閉環系統(式(6))和狀態變換方程(式(8)),可以得到下友型能控標準型的閉環系統矩陣與原閉環系統矩陣的關系：

(20)

下友型能控標準型狀態差分反饋閉環系統(式(19))的特征多項式為

det(zI-Gcf)=(1+ln-1)-1[g0-l0+(g1+l0-l1)z+

…+(gn-1+ln-2-ln-1)zn-1]+zn

(21)

期望極點可以由特征方程的根給出,也可以由特征多項式系數給出,即

d(z)=(z-λ1)(z-λ2)…(z-λn)=

zn+d0+d1z+d2z2+…+dn-1zn-1

(22)

其中,特征值λi∈C1×1，i=1,2,…,n,若有復根,則必須以共軛形式成對出現。期望特征多項式的系數d∈R1×n且d=[d0d1…dn-1]。由式(21)和式(22)關于z的多項式對應項系數相等可以得到

(23)

因為1+ln-1≠0,整理可得

(24)

寫成矩陣形式如下：

DlT=gT-dT

(25)

其中,系數矩陣D為

矩陣D的行列式為

(26)

其中,e∈Rn×1且e=[111…1]T。

式(25)的解分以下兩種情況討論:

(1)det D≠0。即矩陣D是非奇異的,由式(25)可得下友型能控標準型極點配置問題的解：

l=(g-d)D-T

(27)

事實上,不需要矩陣求逆,也可直接得到式(24)的解。將式(24)各式的左邊依次相加,右邊依次相加可得

(1+de)ln-1=(g-d)e

(28)

解得

ln-1=(g-d)e/(1+de)

(29)

求得ln-1后再倒序求解式(24),即求解順序為l0,l1,…,ln-2,可得

(30)

γ=1+ln-1

(2)det D=0。即矩陣D是奇異的,為使式(28)有解,必須滿足

ge=de

(31)

這就表明,ge+1=0和de+1=0必須同時成立。由式(28)可知,此時ln-1是自由的,只需選擇ln-1≠-1即可。此時式(24)的解為

(32)

若1+ge≠0且1+de≠0,則

(33)

式(33)表明，原系統的所有特征根均不為1,這意味著對于任意的輸入原系統都有一個平衡點xeq。在式(1)中令x(k+1)=x(k)=xeq，解得

xeq=(I-G)-1hu

(34)

對于期望的閉環系統,也有相同的結論。這表明,狀態差分反饋無需考慮系統有無平衡點。

2.2一般系統的解

上文針對具有下友型能控標準型的單輸入時不變線性離散系統,求得了基于狀態差分反饋的問題的解,下面求一般單輸入時不變線性離散系統的解。

將式(8)代入式(14)可得

u(k)=-l(z(k+1)-z(k))=

-l Q-1(x(k+1)-x(k))

(35)

對比式(3)和式(35)可得原系統(式(1))的狀態差分反饋控制問題的解：

k=l Q-1

(36)

推導狀態差分反饋增益向量k的具體表達式。有

l=(g-γd)Mr

(37)

其中，Mr為上三角矩陣。得到狀態差分反饋增益向量：

k=(g-γd)MrQ-1

(38)

加速度反饋增益向量為

ks=Ts(g-γd)MrQ-1

(39)

由上述討論得出以下定理。

定理1若系統(式(1))能控且不含極點z=1, 則可通過狀態差分反饋(式(3))在z平面任意配置極點到期望的位置上。

定理2若系統(式(1))能控且含極點z=1,則可通過狀態差分反饋(式(3))在z平面任意配置極點到至少含有以z=1為其中一個極點的期望位置上。

3　仿真實例

例1考慮減振機械系統,其動態方程為

其中，各參數的具體意義見文獻[12]。易知原系統是一個開環漸近穩定的系統, 但系統達到平衡狀態的時間較長。設計狀態差分反饋使閉環系統穩定且零輸入響應的暫態過程時間縮短。取采樣周期Ts=0.5 ms,離散化后的系統矩陣和控制量增益分別為

h=[00-5×10-65×10-5]T

閉環系統期望極點

λ1,2=exp(Ts(-5±65i))

初始狀態取

x0=[0.050.050.20.2]T

解得加速度反饋增益

ks=[260.3388294.1277-1.2023-0.2872]

由圖1可以看出,閉環系統的瞬態響應明顯優于開環系統;由圖2可以看出,加速度信號(a3(t),a4(t))的瞬態值較大,而速度信號(a1(t),a2(t))的瞬態值不至于過大;圖3所示為控制信號的變化曲線。

1.閉環系統　2.原系統圖1　原系統和閉環系統零輸入響應(例1)

圖2　狀態差分的理論值(例1)

圖3　控制信號(例1)

例2考慮球桿系統,動態方程為

其中，各u(t)參數的具體意義見文獻[12]。易知原系統是一個開環不穩定的系統,設計狀態差分反饋使得閉環系統漸近穩定且暫態過程盡可能短。取采樣周期Ts=5 ms,離散化后的系統矩陣和控制量增益分別為

h=[00.004 9500]T

閉環系統期望極點為

λ1,2=exp(Ts(-3±i))

λ3=-2Tsλ4=-5Ts

解得加速度反饋增益

ks=[-0.1064-1.010512.85176.1787]

初始狀態為

x0=[0.1 0.1 0.01 0.01]T

由圖4可以看出,閉環系統漸近穩定且能較快到達平衡狀態;圖5所示為狀態差分的理論值;圖6所示為控制信號的變化曲線。仿真結果表明,對于開環不穩定的系統,本文方法也是有效的。

圖4　閉環系統零輸入響應(例2)

圖5　狀態差分的理論值(例2)

圖6　控制信號(例2)

例3考慮雙積分系統,動態方程為

取采樣周期Ts=5 ms,離散化后的系統矩陣和控制量增益分別為

圖7～圖9的意義與例2相同,從圖7可以看出,閉環系統仍然具有一階積分特性,即狀態差分反饋不能完全去除原系統在z=1處的極點,從而驗證了定理2。

圖7　閉環系統零輸入響應(例3)

圖8　狀態差分的理論值(例3)

圖9　控制信號(例3)

4　實驗結果

本課題組一直致力于隔振器方面的研究。圖10所示是本課題組自主研發的磁懸浮隔振系統[16]。

圖10　磁懸浮隔振器實驗平臺原理圖

由圖10可以看出,負載與基礎的加速度可以分別由加速度傳感器1和2直接測量獲得,可以直接用于反饋控制。為驗證加速度反饋的可行性,振動主動控制的目標是當負載或基礎偏離自身平衡位置時,電磁作動器按照一定的規律產生電磁力，從而使負載和基礎分別回到自身的平衡位置。在對電磁作動器輸出的電磁力與基礎及速度的關系進行建模時,選擇負載位移、負載速度、基礎位移、基礎速度作為狀態,則由負載加速度得到的負載速度信號、負載加速度，由基礎加速度得到的基礎速度信號以及基礎加速度信號就對應于狀態的微分,即可直接利用加速度信號實現反饋控制而無需構建狀態觀測器。上述系統可以用圖11所示模型來描述。

圖11　電磁作動器作用下磁懸浮隔振系統原理圖

系統的狀態空間表達式為

其中,u為電磁力,s1為負載位移,s2為基礎位移。磁懸浮隔振器中各元件的標稱值見表1。

表1　磁懸浮隔振器元件標稱值

(a)負載的加速度測量值與速度重構值

(b)基礎的加速度測量值與速度重構值圖12　系統無控制與施加控制時負載與基礎的加速度測量值與速度重構值

圖13　負載與基礎的相對位移和電磁力變化曲線

初始時,手動使負載稍微偏離自身平衡位置,施加控制與不施加控制的變量對比見圖12和圖13。控制方法采用本文所提方法,采樣周期取Ts=0.2 ms,閉環系統極點取λ1,2=exp(Ts(-5±15i)),λ3,4=exp(Ts(-7±10i))。由圖12可知,若不施加控制,負載和基礎都需要較長時間才能回到平衡位置；而使用加速度信號作為反饋的控制,可以使系統盡快回到平衡位置,該結果驗證了加速度反饋的有效性。

5　結語

本文從單輸入時不變線性系統的離散形式出發,闡述了用加速度反饋配置系統極點的實際意義,通過轉化將其歸結為用狀態的差分作反饋的增益求取問題。詳細給出了下友型能控標準型系統基于狀態差分反饋極點配置問題的解的求取過程,并通過狀態變換得到一般時不變線性離散系統基于狀態差分反饋極點配置問題的解。由求解過程的討論得到基于狀態差分反饋的極點配置定理和算法。所舉的3個典型實例和隔振器實驗都驗證了本文方法的可行性和有效性。

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(編輯陳勇)

Pole Placement for Single Input Linear Time-invariant Discrete Systems by Acceleration Feedback

Liang QingWang ZhenPan JinwenPeng Cheng

University of Science and Technology of China,Hefei,230026

The feasibility of pole placement by acceleration signal for single input time-invariant linear discrete systems was discussed. Firstly, the theorems and algorithms of pole placement by state-difference were provided. Secondly, the effectiveness of the proposed method was validated by three simulation examples. Finally, an experimental platform was setup to validate the feasibility of the proposed method.

linear discrete system; acceleration feedback; state-derivative feedback; state-difference feedback; pole placement

2013-09-16

國家自然科學基金資助項目(61004017)；中國科學技術大學青年創新基金資助項目(WK2100100016)

TP273< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.08.020

梁青，男，1961年生。中國科學技術大學信息科學技術學院副教授。主要研究方向為飛行器制導與控制、系統仿真、智能信息處理等。王珍，女，1989年生。中國科學技術大學信息科學技術學院碩士研究生。潘金文，男，1989年生。中國科學技術大學信息科學技術學院博士研究生。彭程，男，1978年生。中國科學技術大學信息科學技術學院副教授。