探索和思考二次根式性質的歸納及運用

應紅星

二次根式在我國初中數學科目中是一個非常重要的知識點，充分了解二次根式的性質對于學習二次根式的知識有很大的意義。特別是在初中數學科目中，還需要有效地根據二次根式的一些性質對其他題目進行解答。下面根據以下這些題目對二次根式的性質以及運用方法進行總結。

我們先對二次根式的概念進行回顧。在教材上對二次根式是這樣進行定義的：（a≥0）這樣的式子被稱作二次根式。二次根式具有以下幾種性質：乘除、開方以及平方的計算。開方用公式表現為：=a=a（a≥0）

-a（a<0）、平方的表現公式為：（）2=a（a≥0）乘法的表現公式為：=·（a≥0，b≥0）、除法的表現公式為：=（a≥0，b≥0）。這四種公式看起來十分的簡單與平常，但是如果將其進行變形與轉換就可以從不同的角度去考查學生對他們的掌握能力。

一、舉例，這是經常會出現的一個知識點：（a≥0）中a的范圍

這個知識點在二次根式當中屬于比較基礎的一種概念，但是卻又十分的重要。這個知識點無論是在平常的測驗還是期中期末的考試中都會很容易出現，這就意味著其包含的范圍十分的廣泛。在對二次根式進行解答的時候只要中間被開方的數不是一個具體的數字，我們都需要對其范圍進行考慮，并且要牢牢記住中間被開方數a是一個非負數。

例題1.已知（a+1）2與2a+b-5互為相反數，求a2+b2的值。

這道題我們進行分析，這種題目是一種非常經典的題目，我們對題目中所包含的兩個公式進行觀察就可以發現，（a+1）2的值是一個非負數，同樣也是一個非負數，也就是說這兩個公式相加起來的總和也是0。當兩個非負數是相反數并且相加起來的總和也是0的情況下只有一個結果可以解釋，就是說這兩個式子的值也都是分別為0。將這道題解釋到這個步驟，結果已經顯而易見了。

解：由題可知，（a+1）2+=0

因為（a+1）2≥0，≥0

所以就得出a+1=0

2a+b-5=0，

從而得到a=-1

b=7，

把得出的這個結果帶入到最后的式子中去就得出，a2+b2=（-1）2+72=50

二、當這種情況出現后，就需要牢牢記住a≥0

當出現在題目中的時候，就預示著是有存在的意義和價值的。我們就可以根據這一點得出a≥0，并且我們還可以根據這一個隱含的條件來對題目進行有效的解析。

例題2.對+（）2進行分析。

對其進行分析：這種類型的題目就是對二次根式中（a≥0）性質的掌握，其中特別是對=a=a（a≥0）

-a（a<0）的運用進行考查。這個性質與去絕對值都是一樣的原理。在對這個式子進行化簡的時候特別要注意化簡后的值為非負數，并且如果a是兩個數字的差的話，就一定要對兩個數字的大小關系進行考慮。

解：對原來的式子進行轉化，原式=3a-1+（1-4a），因為題目中存在著，就得出一個隱形的條件1-4a≥0，也就是說a≤，3a≤<1，這樣就得出一個結論，在去掉絕對值之后，3a-1+（1-4a）=1-3a+1-4a=-7a+2。

三、要對-a進行正確的理解，對進行牢固的掌握，并且a≤0

但是大部分的學生因為受到了傳統的影響，很容易認為把帶有“-”的數字當做為負數來進行運算，就比如說單看這是一個錯誤的式子，但是我們可以給它加上一個條件就是a≤0，當這個條件出現后，這就會變成一個正確的式子，也就是說它是存在的。

例題3.將式子（a-b）中的根號外的因式轉移到根號之內，并對其式子進行簡化。

分析：像對于這種因式的轉移（從根號外轉移到根號內）最主要的就是注意其式子要保證大小不變，特別是式子中的符號不變，在對因式進行轉移的時候要先對式子的符號進行深度的分析，就比如說是上述的題目，我們就可以先從式子中a與b的大小以及a-b的符號這兩方面進行入手。

解：因為在題目中-在根號當中，我們就可以判斷到

->0，也就是說a-b<0，b>a。

將其帶入原式當中，也就是原式=-（b-a）=

-=-。

四、當這種情況出現的時候，那么就意味著a=0

在對二次根式的基本性質進行熟悉與掌握后就會發現二次根式的性質運用是十分靈活的，就比如說是這樣的式子存在時，a=0，這個結論就是通過（a≥0）這個式子引導出來的。學生在對二次根式進行平常的學習的時候根本不需要進行死記硬背，只需要將二次根式中最基本的公式性質記下來就可以了，最為重要的就是要根據這些基本的公式性質來進行正確的推到與分析，做到舉一反三，靈活運用。

綜上所述，對于二次根式的運用是十分靈活的。老師在對二次根式的用法進行教授的時候，千萬不要讓學生死記硬背，這樣在很大的程度上會造成學生的混亂。要讓學生活學活用，并且熟練地對每一個性質進行掌握，做到舉一反三。

參考文獻：

張繼海.注意二次根式的合理化運算[J].數學教學通訊，1992（04）：9-10.

·編輯 王團蘭