可化為等差數列、等比數列求和問題的解法探究

李代國

我們前面學習了等差數列、等比數列的求和公式的推導過程，我們試著回答下列問題：

1.學習一個數學公式的基本任務有哪些？

（1）等差數列、等比求和公式內容是什么？公式怎么用？

（2）推導公式的方法怎么用？

2.拿到一個新題目怎么想？

（1）現有的相關公式能否用上？

（2）非等差、等比數列求和能否化為等差、等比數列求和？

（3）已經用過的相關方法能否用上？

問題一：求數列，，，…，，…的前n項和;

分析：數列的分子成等差數列，分母成等比數列，可用錯位相減法求和;

Sn=+++…++其中等比數列的公比q=;

Sn=+++…++;

兩式錯位相減得：

Sn=++++…-

=-+2（++++…+）-

∴Sn=3-

小結：設數列an的等比數列，數列bn是等差數列，則數列anbn的前n項和Sn求解，均可用錯位相減法.

問題二：已知a≠0，求數列a，2a2，3a3，…，nan，…前n項和.

點撥：字母的系數等差，字母項等比，但需要對字母討論.

解：Sn=a+2a2+3a3+…+nan，

當a=1時，Sn=1+2+3+…+n=，

當a≠1時，Sn=a+2a2+3a3+…+nan，

aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1，

兩式相減（1-a）Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1，

=-nan+1

∴Sn=.

小結：采用乘公比，錯位相減，可以得到一組等比數列，求和用公式但必須注意公比是否為1，否則須討論.

問題三：設Sn=-1+3-5+7-9+…+（-1）n（2n-1），則Sn=（-1）nn

方法一：分析：由此數列的通項an=（-1）n（2n-1）;其是等差數列與等比數列的積這一類型的數列求和，故用錯位相減法.

所以Sn=-n（n為奇數）

n（n為偶數），即Sn=（-1）nn.

總結：一個數列cn可以看成是一個以公差為d的等差數列（d不等于零）和一個是公比為q的等比數列（q不等于1）的乘積形式，則數列cn的前n項求和的方法可采用做錯位相減法.

方法二：分析：通過觀察可發現此數列具有正負相間，且正數項和負數項分別成等差數列這一特征.因此可以將正數項和負數項分別進行分組求和.但此數列有多少正數項和負數項呢？還要對項數n的奇偶性進行討論.

略解：Sn=-n（n為奇數）

n（n為偶數），即Sn=（-1）nn.

總結：我們通過分組轉化成兩個等差數列，然后通過已有的等差數列求和求解。這種方法叫做分組求和法。

方法三：分析：通過觀察可發現此數列具有這樣的特征，即第一項與第二項，第三項與第四項，第五項與第六項，……，第n-1項與第n項的和都等于2，共多少個2呢？還要對項數n進行奇偶性討論.

總結：通過將數列相鄰的兩項并成一項得到一個新的容易求和的數列，這種方法叫做并項求和。

通過對以上問題幾種方法的探討，不難看出，實際上所有與項的序號的奇偶性有關的數列求和問題，通過認真審題，抓住數列的通項，靈活地運用分類討論、轉化和化歸數學思想，就可將其變為熟悉、簡單的等差數列或等比數列來處理，輔助以適當的解題方法技巧，問題就會迎刃而解.

·編輯 孫玲娟