高校相關系數授課的新思路

周齊 黃少騫（華北理工大學理學院河北唐山063000）

高校相關系數授課的新思路

周齊 黃少騫
（華北理工大學理學院河北唐山063000）

針對目前高校統計專業方向關于相關系數以及相關性存在的一些問題，指出了目前大部分教材對于相關系數及相關性的介紹都存在相對混亂、界定不清的問題，本文由相關關系的定義，通過相關系數的內涵，結合一定的定理與性質，給出了相關系數與相關性程度對應的一套完整定義及評價體系，對厘清相關程度等概念具有較好的作用，同時也有利于高校教師的講解以及學生形成較為全面、合乎邏輯的知識體系。

相關系數相關性相關程度簡單相關系數

目前高校教材關于相關關系、相關系數、樣本相關系數都存在界定不清，表述相對混亂的情況，對教學效果，尤其是對學生的理解不能形成系統清晰的理解脈絡，本文就此問題，提出相關系數的一些講授思路：

首先，關于關系大致存在函數關系和相關系兩種，如下表：

表一：兩種關系

那么，接下來關于相關關系，從廣義上按類型可以分為如下：

這是從關系“形態“上進行的分類，稍后會指明，概率論中的相關系數等都是作為線性相關的量度，即本科階段關于相關關系的研究對象主要是線性相關。

從程度上劃分，可以分為完全相關、不完全相關和不相關：

完全相關 當一個變量的數量完全由另一個變量的數量變化所確定時，二者之間即為完全相關。完全相關即為函數關系。不完全相關 如果兩個變量的關系介于完全相關和不相關之間，稱為不完全相關。不相關 又稱零相關，當變量之間彼此互不影響，其數量變化各自獨立時，則變量之間為不相關。在這里，相當于概率論當中的“獨立”。

可以認為，這里對于完全相關、不完全相關和不相關的表述給出的是完全相關、不完全相關和不相關的定義。

過度到概率論中完全（線性）相關當一個變量的數量完全由另一個變量的數量變化線性確定時，二者之間即為完全（線性）相關。完全（線性）相關即為線性函數關系。不完全（線性）相關如果兩個變量的關系介于完全（線性）相關和不（線性）相關之間，稱為不完全相關。不（線性）相關又稱零（線性）相關，當變量之間彼此互不線性影響，則變量之間為不（線性）相關。

現在的問題是對于所給定的兩個總體，很難通過定性的定義進行判定，所以定義相關系數進行量化：

首先根據相關系數定義和柯西—施瓦茨不等式可以得到如下定理：

由此定理基礎，“以概率一”和“充要性”，有理由做出如下定義，進行一次近似，完成完全線性相關的量化判定標準：

若隨機變量ξ和η的相關系數p=1，則ξ和η完全線性相關/具有完全線性關系。

另外，根據相關系數本身的內涵，還會定義：

若隨機變量ξ和η的相關系數p=0，則稱ξ和η不線性相關。

注意：p=0并不意味著和不相關，只是不線性相關，有可能具有其他相關關系。

若隨機變量ξ和η的相關系數絕對值［0.8，1］，則稱ξ和η高度線性相關。

若隨機變量ξ和η的相關系數絕對值［0.5，0.8］，則稱ξ和η中度線性相關。

若隨機變量ξ和η的相關系數絕對值［0.3，0.5］，則稱ξ和η低度線性相關。

若隨機變量ξ和η的相關系數絕對值［0，0.3］，則稱ξ和η線性相關程度極弱。

但是由于兩個總體之間的相關系數仍舊是不好求得的，所以保留量化的優勢，進一步定義簡單相關系數，可以發現簡單相關系數具有性質：

樣本相關系數等于一?樣本點在一條直線上

由此性質基礎，結合樣本相關系數是總體相關系數的極大似然估計，進行二次近似，可以定義：

若隨機變量ξ和η的樣本相關系數r=1，則ξ和η完全線性相關/具有完全線性關系。

同理可以有如下定義（在這里之所以寫成具有充要雙向的定義形式，為的是于總體相關系數的相關定義形成統一“整體齊性”）

若隨機變量ξ和η的樣本相關系數絕對值大于%5，則ξ和η高度顯著線性相關

若隨機變量ξ和η的樣本相關系數絕對值［1%，5%］，則ξ和η顯著線性相關

若隨機變量ξ和η的樣本相關系數絕對值小于1%，則ξ和η線性相關程度不明顯。

關于邊界等號的位置，在這里不在作為討論的重點。

若隨機變量ξ和η的樣本相關系數為零，則ξ和η不線性相關

在這里，主要是通過相關系數的內涵，根據定理性質采取人為定義的方式對相關性程度與相關系數值做出了對應，國內大部分教材都是沿續這一思路，國外的一些教材是從線性回歸模型的角度給出了另外形式的相關系數的定義式，根據相關系數具體取值對回歸方程的性態影響角度對應相關性程度，可能在某種意義上規避了本文需要“近似”的弱點，更能貼近相關關系的定義，但國外思想涉及到回歸方程建立的思路角度，與我曾經發過一篇論文《回歸分析與灰色預測的比較與聯合應用》不是一致的，所以放棄了國外思想。

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［3］章舜仲，王樹梅.相關系數矩陣與多元線性相關分析［J］.大學數學，2011，01：195-199.

［4］楊聞起.強線性相關與弱線性無關［J］.寶雞文理學院學報（自然科學版），2009，02：1-3.

［5］李秀敏，江衛華.相關系數與相關性度量［J］.數學的實踐與認識，2006，12：199-192.