對一道輕桿彈力問題的思考

王喜

在高一年級的一次診斷性測試中，一道有關輕桿彈力的試題引起了筆者的一點思考，并總結得出了規律，在這里與大家共同分享。

題目：如圖1所示，AB為一輕桿，一端插入墻中，一根輕繩BC的一端固定在墻上的C點，另一端系在桿的B端;已知AB=5 cm，BC=3 cm，AC=4 cm，在桿的B端掛一重40 N的物體P，系統靜止時，在結點B處繩BC、桿AB受力各為多少？

圖1

原解析：由幾何知識知，△ABC為直角三角形，∠BCA=90°，∠BAC=37°，以結點B為研究對象，受到水平繩的拉力FT1，豎直繩的拉力FT2和沿著桿斜向上的支持力FN，如圖2所示，則三力圍成了一個直角三角形，因此：

FT1=FT2tan37°=Gtan37°=30 N

FN===50 N

提出問題：桿AB的A端固定，“固定桿”上的彈力為什么一定是沿桿的？繩BC為什么會有彈力？

問題分析：（1）若沒有輕繩BC，其他條件不變;此時桿為“固定桿”，彈力不一定沿桿方向。

圖3

以結點B為研究對象，受到豎直繩的拉力FT2，此拉力使桿發生微小形變，從而產生被動力——支持力，使B點處于平衡狀態，因此桿對B點有沿豎直向上的支持力，如圖3所示，則FN=FT2=G=50 N。

（2）若輕桿的B端有一光滑輕質滑輪（活結），其他條件不變;桿為“固定桿”，彈力不一定沿桿方向。

以結點B為研究對象，受到繩水平向左和豎直向下的拉力FT1，FT2;且FT1=FT2。這兩個拉力使桿發生微小形變從而產生被動力——支持力，使B點處于平衡狀態，所以桿對B點的支持力FN與FT1、FT2的合力是等大反向的，即與水平方向成45°斜向右上方，如圖4所示：

圖4

因此：FN=FT2=G=40N

（3）若輕桿A端有水平鉸鏈，其他條件不變;桿為“自由桿”，彈力一定沿桿方向。

以結點B為研究對象，受到豎直繩的拉力FT2，此力使自由桿有順時針轉動的趨勢，從而使水平繩發生微小形變產生水平向左的拉力FT1，拉力FT1、FT2的力矩使桿處于平衡狀態，因此桿對結點B只產生沿著桿斜向上的支持力FN，受力情況如圖所示：

圖5

故：FT1=30N FN=50 N

對原題分析：以結點B為研究對象，受到豎直繩的拉力FT2，此力使固定桿發生微小形變從而使B端有順時針轉動的趨勢，同時使水平繩發生微小形變產生水平向左的拉力FT1，拉力FT1、FT2的力矩使桿處于平衡狀態，因此桿對結點B只產生沿著桿斜向上的支持力FN，與第（3）種情況（自由桿）的情境相似，受力情況如圖6所示：

故：FT1=30N FN=50N

通過以上實例的分析我們可以總結出下列的規律：

1.輕桿如果可以繞一端在豎直平面內自由轉動，稱為“自由桿”。另一端用繩子連接物體，不論結點是“活結”還是“死結”輕桿上的彈力一定沿桿的方向。

2.輕桿的一端如果固定，稱為“固定桿”。

①若另一端只用繩子連接物體，桿上的彈力遵從二力平衡;

②另一端通過滑輪（活結）連接物體，桿上的彈力一定與兩段繩上張力的合力等大而反向。

③另一端用繩固定（死結），用另一段繩連接物體，桿上的彈力方向一定沿桿的方向。

？誗編輯 溫雪蓮