小議“求參數的取值范圍”問題

賈金鵬

摘 要：歸納總結了含絕對值不等式求參數取值范圍和在線性規劃問題中求參數取值范圍的常見題型及解決方法，并結合實例進行了分析和說明。

關鍵詞：不等式;線性規劃;參數;取值范圍

本文歸納總結出了常見問題的基本類型及解決方法，并結合具體實例進行了分析和說明。

問題一：含絕對值不等式求參數取值范圍

類型一：解集相同問題

這類問題在題目中經常有“解集是……求a的值”等關鍵詞，處理的方法就是利用不等式的解集與所給解集相同建立方程。

下面以2013年遼寧高考題為例進行分析和說明。

已知函數f（x）=x-a，a>1，已知關于x的函數不等式f（2x+a）-2f（x）≤2，解集為，求a的值。

分析：我們注意到題目中給出了含參不等式的具體解集，因而應明確題型——“集合相等”（即含參不等式解集的左、右端點分別是1和2），化簡含參不等式，我們得到f（2x+a）-2f（x）=-2a，x≤04x-2a，0

類型二：恒成立問題

這類問題在題目中經常有“任意x屬于某個區間某個式子都成立、不等式解集包括某個指定區間”等關鍵語句，我們可利用這些關鍵語句來確定題目的基本類型，處理的方法就是a≥f（x）？圯a≥f（x）max，a≤f（x）？圯a≤f（x）mix。

下面以2013年新課標一卷高考題為例進行分析和說明。

已知函數f（x）=2x-1+2x+a，g（x）=x+3

設a>-1，且當x∈[-，〕時， f（x）≤g（x），求a的取值范圍。

分析：我們注意到題目中求的是a的取值范圍，并且是x取指定區間的任意一個值，不等式都成立，應屬于“恒成立”問題。化簡不等式f（x）≤g（x），得出a≤x+2，應滿足a≤x+2對x∈[-，]恒成立，也就是a≤x+2的最小值，即a≤-+2，進而得到a的取值范圍。

類型三：存在性問題

這類問題在題目中經常有“有解、解集非空”等關鍵詞，可利用這些關鍵語句來確定題目的基本類型，處理方法為：

a≥f（x）？圯a≥f（x）mix，a≤f（x）？圯a≤f（x）max。

下面以2012年唐山一模題為例進行分析和說明。

設f（x）=2x-x+3，若關于x的不等式f（x）+2t-3≤0有解，求參數的t的范圍。

分析：我們注意到題目中說的是不等式有解（即至少有一個解），應屬于“存在性”問題。化簡不等式得到2t-3≤x+3-2x，應滿足x至少取一個值，使得這個不等式成立。也就是2t-3≤x+3-2x的最大值，求x+3-2x的最大值，我們利用圖象可知它的最大值是3，因而得到2t-3≤3，進而求出t的取值范圍。

問題二：在線性規劃問題中求參數取值范圍

類型一：求約束條件中參數的取值范圍

線性目標函數z=x+y在線性約束條件x+y-3≤02x-y≤0y≤a下取得最大值的最優解只有一個，求實數a的取值范圍。

分析：依據題意，畫出可行域（如圖1）。由于a的值待求，因此特別要注意y=a這條直線的位置。由于線性目標函數z=x+y在線性約束條件x+y-3≤02x-y≤0y≤a下取得最大值的最優解只有一個，我們注意到直線y=-x+z（注意z的幾何意義）與直線x+y-3=0平行，這就要求可行域的右上方的邊界位置只能出現一個點，而不是一條線段。因此y=a這條直線一定就不能在直線x+y-3=0和2x-y=0交點的上方。我們只需求得交點的縱坐標，a不大于它就可以了。

類型二：求目標函數中參數的取值范圍

1.最優解無窮問題

此類問題的參數往往是線性目標函數中x或y的系數，其處理方法是如果最優解有無窮多個，則說明目標函數所在直線的斜率等于某一邊界線的斜率，則由此列出方程而求出某系數的具體數值。我們以下面這道題為例進行分析和說明。

已知三點A（5，2），B（1，1），C（3，4），平面區域為△ABC的內部及邊界，若使目標函數z=ax+y取得最大值的最優解有無數多個，求實數a的值。

分析：依據題意，畫出可行域（如圖2）。我們可以把目標函數z=ax+y寫成y=-ax+z的形式，z的幾何意義就是該直線在y軸上的截距。因此直線y=-ax+z越向上平移z值越大。因為目標函數z=ax+y取得最大值的最優解有無數多個，所以就需要直線y=-ax+z與向上的邊界直線平行。由于a符號不確定，因此要對a進行討論。當a=0時，直線y=a與邊界直線都不平行，不合題意;當a>0時，直線y=-ax+z的斜率為負值，該直線應與直線CA平行，即-a=kAC;當a<0時，直線y=-ax+z的斜率為正值，該直線應與直線CB平行，即-a=kBC，進而求出a的兩個值。

2.最優解唯一問題

此類問題的參數往往是線性目標函數中x或y的系數，其處理方法是如果最優解有唯一一個，則說明目標函數所在直線的斜率大于（或小于）某一邊界線的斜率，或者介于兩條邊界線斜率之間，則由此列出不等式（組）而求出某系數的取值范圍。我們以下面這道題為例進行分析和說明。

已知變量x，y滿足x+2y-3≤0x+3y-3≥0y-1≤0，若目標函數z=ax+y僅在點（3，0）處取得最大值，則a的取值范圍。

分析：依據題意，畫出可行域（如圖3）。我們可以把目標函數z=ax+y寫成y=-ax+z的形式，z的幾何意義就是該直線在y軸上的截距。因此直線y=-ax+z越向上平移z值越大。我們發現直線x+2y-3=0與x+3y-3=0交點恰好是（3，0），因為目標函數z=ax+y僅在點（3，0）處取得最大值，所以就需要直線y=-ax+z經過點（3，0）的向上的傾斜程度最大。由于a符號不確定，因此要對a進行討論。顯然當a=0時目標函數z=ax+y在（3，0）取得最小值;當a<0時，直線y=-ax+z的斜率為正值，目標函數z=ax+y在（3，0）仍然取得最小值;只有當a>0時，直線y=-ax+z的斜率為負值，經過（3，0）點時向上的部分在直線x+2y-3=0的上方，即-a=kAB，進而求出a的取值范圍。

？誗編輯 溫雪蓮