數項級數的收斂性教學探討

摘 要：級數的收斂性是級數理論的首要概念。對級數收斂性概念的教學進行探討，通過問題驅動，給學生展現級數概念的形成過程。

關鍵詞：數項級數;數學史;極限

級數是研究函數性質和進行數值計算的有力工具，在多種實際問題上的應用非常廣泛。對級數的研究可追溯至對芝諾悖論的探討，其重要性始現于微積分學的創立與發展。例如，在求解面積問題時，牛頓最初就是利用將函數表示成無窮級數的方法，進而逐項求積。另外，牛頓也使用了相同的方法來處理微分方程的問題。級數是構造非初等函數的重要方法，例如我們所熟知的積分，無法通過黎曼積分方法求出，而是通過級數的方法求解的。一旦給出了函數的級數表示，對該函數的分析性質進行探討就很便利了。級數理論是以簡馭繁的數學思想的重要體現，以物理學的觀點看，這就相當于把一個復雜的運動分解為一系列簡諧運動的疊加。

級數理論中的首要概念是收斂性，利用無窮級數來表示函數，即逼近問題，最終將歸結為級數的收斂問題，因此，級數收斂性概念的教學是非常重要的，本文結合課堂教學實踐，探討級數收斂性概念的教學。

一、重視級數概念的形成過程，注重數學史的滲透

級數概念建立在極限基礎之上，從有限和到無限和之間有了極限運算的參與，超乎學生的直觀經驗，抽象度高。作為級數教學的首課時，應該讓學生對整章內容的框架有個大概了解，因此，扼要介紹級數的發展史是很有必要的，讓學生了解數學知識是實踐的產物，源于生活并服務于生活。為此，我們利用問題驅動，從芝諾悖論開始，引入級數概念。

第一環節：問題提出

Aristotle悖論（PPT演示）

問題1：無限個數相加的結果是什么？

問題2：有限個數相加的結合律、交換律對于無限和還有效嗎？

第二環節：引出定義

定義1：給定一個數列un，對其各項依次用“+”號連接起來的表達式：

un=u1+u2+…+un+…（*）

稱為常數項級數或數項級數（簡稱級數），其中稱為數項級數（*）的通項或一般項。

回到我們的問題：如何判斷級數（*）的結果？

先看一個例子：（讓學生自由交流，與同學分享自己的結論，教師總結討論的結果）

令S=1-1+1-1+1-1+…

結果1：S=（1-1）+（1-1）+（1-1）+…=0+0+0+…=0

結果2：S=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0+0+…=1

結果3：S=1-（1-1+1-1+…）=1-S，從而S=

從上例可以看到，有限個數相加與無限個數相加是不同的，有限到無限之間經歷了質的變化，有限和的交換律與結合律不能“平行移植”到無限和。在此，數學再一次發揮了其以簡御繁的精神與方法，“簡”即有限，“繁”即無窮，“御”即逼近：以有限項之和去逼近無窮項之和。我們可以看到，所選項數越多，近似程度越高，由此，引入“部分和”的概念：

定義2：級數un的前n項之和Sn=un=u1+u2+…+un，稱為級數（*）的第n個部分和（簡稱部分和）。若部分和數列Sn收斂，即■Sn=S，則稱級數（*）收斂，且S為其和，記作un=S。

第三環節：定義運用

例1：（解決Aristotle悖論）

解：由于Si=S+S+…+S+…，而Si=S+S+…+S==S，因此，Si=S。

這說明總路程是一段有限的距離，不可能永遠也走不到終點，同時指出悖論的謬誤之處。

例2：討論S=1-1+1-1+1-1+…的斂散性。

解：S1=a1=1，

S2=a1+a2=1+（-1）=0，

S3=a1+a2+a3=1+（-1）+1=1，

S4=a1+a2+a3+a4=1+（-1）+1+（-1）=0…

Sn=1，n=2k-10，n=2k

因此，Sn不存在，級數發散。

例3：討論等比級數arn-1=a+ar+ar2+…+arn+…（a≠0）的斂散性。

解：因為Sn=ark-1=a·，當r≥1時，顯然級數發散。

當r<1時，我們有Sn=a·=。此時，級數收斂。

等比級數是非常重要的一類無窮級數，在后續學習級數斂散性判別中有重要作用。例2能讓學生體會無限和與有限和的區別。

三、教學反思

極負盛名的荷蘭數學教育學家Freudenthal曾說：沒有一種數學思想，以它最初被發現時的那個樣子發表出來。一個問題被解決以后，相應的發展成一種形式化的技巧，結果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗。本著這樣的理念，教師的任務是將這些閃亮的思想過程還原給學生，引導其思考、探索，從而培養其發現問題、解決問題的能力。大學課堂是引導學生進入科學研究領域的前沿陣地之一，能把學生吸引住的，不是冰冷的定理定義，而是隱藏其后的那些火熱的思考與碰撞。

參考文獻：

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[2]張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅動的數學教學[J]，高等數學研究：2004，7（3）：8-10.

[3]Walter Rudin.Principles of mathematical analysis[M]. McGraw-Hill Companies，Inc. 1976.

作者簡介：蘭堯堯，女，1981.12，博士，副教授，重慶文理學院數學與財經學院，研究方向：不確定性理論及其應用

基金項目：國家自然科學基金項目（編號：11226268），重慶文理學院教學改革研究項目（編號：110235），重慶文理學院第二批特色項目（《實變函數》課程教學改革研究）。

？誗編輯 李建軍