淺談相輔相成的數(shù)學知識與解題能力

劉會賓

高考復習已進入沖刺階段，如何在短暫的時間內(nèi)迅速扭轉(zhuǎn)局面，最大限度地提高學生的應(yīng)試水平呢？我認為還是應(yīng)該按照考試大綱的要求，根據(jù)“基礎(chǔ)知識與能力并重”的原則，以“能力立意”為指導思想，復習中始終將知識、能力與素質(zhì)融為一體通盤考慮，全面提升學生的數(shù)學素質(zhì)。

為什么要知識、能力與素質(zhì)融為一體通盤考慮呢？我們可以考察一下它們的關(guān)系。

首先，數(shù)學知識與解題能力是“手心手背”的關(guān)系。解題能力決定了一個人掌握數(shù)學知識的速度與質(zhì)量;數(shù)學知識則為解題能力奠定基礎(chǔ)，“無知者無能”，沒有數(shù)學知識就不可能有解題能力。

認知心理學的研究表明，一個人不能“數(shù)學地”思考和解決問題的主要原因是缺乏必要的數(shù)學知識，“隔行如隔山”就是這個道理。

數(shù)學概念形成的能力、思維和語言表達的能力要在數(shù)學知識學習中有意識地培養(yǎng)，正是由于已掌握的數(shù)學知識的廣泛遷移，個體才能形成系統(tǒng)化、概括化的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，從而形成解題能力。

反觀高三數(shù)學復習，問題首先在基礎(chǔ)不落實上，由此也導致了數(shù)學能力和素質(zhì)的低水平徘徊。例如，在“基本不等式”的復習中，除了反復強調(diào)“一正二定三相等”外，主要精力集中于變形技巧訓練。但學生面臨新問題時，不僅仍然不顧“正”“定”“相等”的要求，有的甚至根本想不到用基本不等式。究其原因，還是教師沒有抓住基本不等式的結(jié)構(gòu)特征這一核心進行教學。實際上，基本不等式表明了正數(shù)a，b的和與積的大小關(guān)系，有固定的形式結(jié)構(gòu)。變形的技巧無窮，但都是為了轉(zhuǎn)化為這一形式結(jié)構(gòu);而用基本不等式求最大（小）值時，首先應(yīng)看是否具有“和”或“積”為常數(shù)的條件（“和”或“積”為常數(shù)是使用基本不等式的信號）。

我想，抓住這一根本，再精選若干典型問題訓練學生的思考習慣，就可實現(xiàn)舉一反三。

其次，數(shù)學知識和解題能力是數(shù)學素質(zhì)的基本要素。數(shù)學素質(zhì)訴諸于實踐就表現(xiàn)為解題能力，離開解題能力，數(shù)學素質(zhì)就無從表現(xiàn)、觀察、確證和把握。在數(shù)學活動中體現(xiàn)的數(shù)學素質(zhì)對數(shù)學知識有極大的依賴關(guān)系，數(shù)學知識在人的整體素質(zhì)中也居于不可替代的基礎(chǔ)地位。

個體數(shù)學素質(zhì)的高低，取決于他占有的數(shù)學知識的廣度與深度，正是在數(shù)學知識的學習和使用中，學生才建構(gòu)了自己的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)及“數(shù)學地”思考和行為的習慣。

數(shù)學問題是數(shù)學的核心，學數(shù)學就意味著解題，但數(shù)學問題千變?nèi)f化，無窮無盡，“題海”茫茫。要使學生身臨題海而得心應(yīng)手，身居考室而處之泰然，就必須培養(yǎng)他們的解題能力。教師在教學中如何更好地引導學生解答數(shù)學問題，不斷提高學生的數(shù)學解題能力是一件不容易的事。任教以來，在培養(yǎng)和提高學生解題能力方面，我經(jīng)常進行如下一些做法，收效很好。

一、教會學生審題

審題是成功的完成一道數(shù)學題的關(guān)鍵性的一步。審題的具體任務(wù)，就是通過題目的思考和分析，了解命題者的意圖，弄清題目所考查的知識范圍，明確解題的方法，從而正確的解出題目。在平時教學中，我經(jīng)常采用如下審題方法。

“一審”，也就是第一遍審題。作為第一遍審題因題而論，對于題目自身比較簡單的題目，完全可以找到題目的解決方法。而對于比較難的題目我們就要靜下心來仔細審題了。有很多學生一看到難題就擔心害怕。害怕的原因有這幾個：

1.這部分知識本身就是學生學習的難點，知識體系難度較大。

2.這種題目比較長，讀起來像讀作文一樣，讀完一遍還不知什么意思。

3.這部分題目涉及的知識面比較廣，基礎(chǔ)差的同學無從下手。

遇到這樣的題目先要從心理上戰(zhàn)勝自己，不怕不會，不怕麻煩，靜下心認真閱讀，步步攻克。

二、讓學生養(yǎng)成解題后“回頭看”的習慣

提高解題能力取決于提高解題的質(zhì)量。那么，如何提高解題的質(zhì)量呢？我認為一種極其有效的途徑就是養(yǎng)成解題后“回頭看”的習慣。看看解題結(jié)論是否正確合理、嚴密完善;看看本題有無其他解法，多種解法中哪種最簡捷;再看看原題的解法和結(jié)論能否進一步推廣，并探索出一般規(guī)律，如此等等，這對于提高解題能力有極大的幫助。但是，不少同學未能養(yǎng)成這樣的習慣，因而解題能力和思維品質(zhì)未能得到有效的提高和升華。

因此，在平時講解題目時，我都有意識地進行“回頭看”， 及時進行反思總結(jié)，反思總結(jié)解題過程的來龍去脈、題與題間的聯(lián)系，有何規(guī)律可循;反思總結(jié)題還有無其他解法，養(yǎng)成多角度多方位的思維習慣;反思總結(jié)做錯題的原因，是知識掌握不準確、解題方法不正確，還是審題不清、計算錯誤。

通過對解題過程的“回關(guān)看”，將知識橫向、縱向聯(lián)系，使知識網(wǎng)絡(luò)化。通過以點帶線，以線帶面的知識間的聯(lián)系，使知識結(jié)論立體化，這樣有助于理解、掌握和運用，從而達到深化基礎(chǔ)，完善知識結(jié)構(gòu)的目的。

三、運用變式訓練，拓展習題外延

在復習過程中，我常常發(fā)現(xiàn)一些學生的思維表現(xiàn)較為狹窄，只知其一，不知其二，稍有變化，就不知所云。因此，反復進行拓展、變式訓練，可幫助學生克服思維狹窄性。習題要創(chuàng)新、要善變，通過原題目延伸出更多具有相關(guān)性的新問題，產(chǎn)生一個個既相似又有區(qū)別的問題。在變中求進，進中求通，探索問題的本質(zhì)屬性。

通過變式訓練，將知識一環(huán)套一環(huán)，使學生對概念、定理的本質(zhì)有更加清晰的認識，實現(xiàn)“以少勝多”的目標。

四、學生編寫“錯題集”

每位學生都準備一本“錯題集”，每天將做錯的習題記錄下來，一要記錄錯誤的地方，二要寫出錯誤原因，三要寫出正確答案。對錯誤的、沒弄清楚的題目要反復思考，實在解決不了的要請教老師和同學，經(jīng)常在易錯的地方拿出來強化，作適當?shù)闹貜托跃毩暋?/p>

編寫“錯題集”的目的是誘導學生暴露他們原有的思維方法和過程，利用它來反思自己學習中存在的問題，這樣日積月累的一本“錯題集”就是學生學習的“兵法”，在后續(xù)的學習中就可以做到有的放矢，對癥下藥，而且編寫“錯題集”的過程可以提高學生的思維能力，調(diào)動其學習的積極性。在中學數(shù)學教學中，我們的任務(wù)不僅僅是傳授數(shù)學知識，培養(yǎng)學生的思維能力也應(yīng)是教學活動至關(guān)重要的一部分，而誘導學生暴露其原有的思維過程，對于突破學生的數(shù)學思維障礙會起到極其重要的作用。

總之，學生解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是僅靠教師的潛移默化和學生的自覺行動就能做好的，需要教師根據(jù)教學實際，堅持有目的、有計劃地進行培養(yǎng)和訓練。只有這樣，才能真正把這一工作做好。