角動量算符的本征值

高　峰，許成科，張登玉，游開明

（1.衡陽師范學院物理與電子工程學院，湖南衡陽 421002；2.衡陽師范學院南岳學院，湖南衡陽 421008）

角動量算符的本征值

高峰1，2，許成科1，2，張登玉1，2，游開明1

（1.衡陽師范學院物理與電子工程學院，湖南衡陽 421002；2.衡陽師范學院南岳學院，湖南衡陽 421008）

量子物理學中，角動量算符是一個十分重要的物理量，可以用它的本征值來表征微觀體系的狀態。本文根據對易關系，利用較為簡便的方法求出任意角動量算符的本征值，并討論了軌道角動量算符和自旋角動量算符的本征值。

角動量算符；對易關系；本征值

0　引言

角動量是物理體系的一個重要物理量，它是確定體系狀態的物理量之一。特別是在研究原子問題時，它顯得尤為重要，根據原子體系角動量的取值可以確定其狀態。原則上，量子力學可以根據最基本的轉動求出角動量算符。量子力學的一個十分重要的任務就是求解力學量算符的本征方程，從而得出算符的本征值和本征態。

相對于宏觀系統而言，微觀體系要復雜得多，其角動量除軌道角動量之外，還有自旋角動量。自旋是微觀體系特有的物理現象，不存在經典類比，盡管地球除繞太陽旋轉以外也還有自轉，但這種自轉歸根結底還是一種軌道運動。人們經過研究發現，對于任意的轉動，無論是軌道角動量、自旋角動量，還是總角動量、分角動量，其相應的角動量算符都具有一些共同的特點。例如，任意一種角動量算符^J都滿足如下對易關系

簡記為

這是角動量算符最重要的性質，它也可直接作為角動量算符的定義［1］［2］。

一般說來，要想得到力學量算符的本征值和本征態，需要求解該算符的本征方程。而求解微分方程并不是一件容易的事情，特別是求解那些較復雜的算符的本征方程，就更加困難了，有些本征方程根本無法精確求解。本文根據角動量算符的對易關系，直接求出任意角動量平方算符^J2及角動量Z分量算符的本征值，并具體討論了軌道角動量算符和自旋角動量算符的本征值。

有學者稱它們為階梯算符，也有稱它們為上升、下降算符［3］。將上兩式相乘，有

得

于是有

同理可得

很容易證明這些算符存在如下對易關系

根據（6）式，得

為了證明此序列兩端必有終結之時，先計算^J2在| jm＞中的平均值。

因此只要λj有限，m就必有上界；另一方面m2為正，|-m|不可能大于上限m，則m就必有下界。設m的最大值和最小值分別為mmax和mmin，則必有

于是有

即

另一方面，根據（5）式，又有

即

所以有

注意到mmax＞mmin，方程（11）的唯一解為

于是得出^J2的本征值為

此外，由于（mmax-mmin）必為整數，故j只能取整數或半整數。顯然m的取值為

故得到^Jz的本征值為

2　軌道角動量算符及自旋角動量算符的本征值

（12）式和（14）式是計算角動量算符及角動量Z分量算符本征值的一般表達式，不管是軌道角動量算符還是自旋角動量算符，也無論是分角動量算符還是總角動量算符，其本征值都可以表示成（12）式和（14）式的形式。若要具體算出本征值的大小，就必須知道相應的量子數。對于軌道角動量算符^L，由（12）式得其本征值為

上式中L為軌道角動量量子數。由（14）式得軌道角動量Z分量算符的本征值為

其中ml稱為投影量子數或磁量子數，且

對于自旋角動量算符，由于自旋角動量是微觀體系內部狀態的表征，沒有相應的經典表達式，不象其它力學量那樣可以表示為坐標和動量的函數，故不能采用^r和^p來得到自旋角動量算符，因此情況要復雜一些。現以電子為例，討論自旋角動量算符^S的本征值。大量實驗事實說明電子的自旋角動量在任何方向上的投影只能取兩個數值（±?/ 2），在x、y、z方向上的投影當然也一樣，于是，力學量Sx、Sy、Sz的可能值，也即的本征值都為（±?/2）。所以有

自旋角動量平方算符的本征值為

根據（12）式，電子的自旋角動量算符的本征值可表示為

式中s稱為自旋角動量量子數，結合（18）式和（19）式得到電子的自旋角動量算符的本征值為，還可以得出電子的自旋角動量量子數為

3　結束語

量子力學的核心問題就是要解決體系狀態隨時間的演化規律［4］，解決該問題可以有兩條途徑：一是態函數隨時間的演化，二是算符隨時間的演化。在量子力學中，所有的力學量都必須要用算符來表示，因此，算符理論在量子力學中占有十分重要的地位［5］。角動量算符的本征值可以用于表征體系的狀態，所以本文專門討論了角動量算符的本征值問題。對于初學量子力學的讀者而言，角動量算符理論既抽象又難以掌握，主要原因是因為內容較多，沒有把握其特點和規律。通過上面的討論容易看到，任何一種角動量算符及其分量算符的本征值都可以寫成（12）式和（14）式的形式，只要抓住了這一點，問題就變得簡單了。

［1］鄒鵬程.量子力學［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］高峰.量子物理學［M］.上海：華東師范大學出版社，2015.

［3］林辛未.軌道角動量算符的本征值得和本征函數與階梯算符［J］.大學物理，1985，4（9）：27-29.

［4］高峰，周娟娟，張登玉，等.關于氫原子體系Schrodinger方程的討論［J］.衡陽師范學院學報，2010，31（6）：27-30.

［5］高峰，張登玉，張軍民，等.兩個力學量算符具有共同本征態系的條件［J］.大學物理，2009，28（11）：18-20.

The Eigen Value of Angular Momentum Operator

GAO Feng1，2，XU Cheng-ke1，2，ZHANG Deng-yu1，2，YOU Kai-ming1
（1.College of Physics and Electronic Engineering，Hengyang Normal University，Hengyang Hunan 421002，China；2.Nanyue College of Hengyang Normal University，Hengyang Hunan 421008，China）

The angular momentum operator is a very important physical quantity in quantum physics，and we can use it to represent the micro system of the state.In this paper，the simple method is used to calculate the angular momentum of the Eigen value of the operator according to the commutation relation，and the Eigen value of the orbital angular momentum operator and the spin angular momentum operator is discussed.

angular momentum operator；commutation relation；Eigen value

O413.1

A

1673-0313（2015）06-0043-03

2015-06-22

教育部第一類特色專業建設點項目（TS11635）；湖南省教育廳2010年普通高校教改項目（297）；湖南省普通高校光電課程組教學團隊（2011）項目；衡陽師范學院2008年精品課程建設項目（06）；湖南省教育廳普通高校教改項目（湘教通［2012］401號）332

高峰（1960-），男，湖南衡陽人，教授，主要從事量子物理、核科學與技術的教學和研究。