一類脈沖時滯拋物系統的 （全）振動判據

羅李平

（衡陽師范學院數學與統計學院，湖南衡陽 421002）

一類脈沖時滯拋物系統的 （全）振動判據

羅李平

（衡陽師范學院數學與統計學院，湖南衡陽 421002）

研究一類具脈沖擾動和時滯效應的拋物系統的 （全）振動性，借助一階脈沖時滯微分不等式的某些結果，得到了該類系統在第二類邊界條件下所有解 （全）振動的若干充分判據，結論充分表明這種 （全）振動是由于脈沖量和時滯量所引起的。

拋物系統；（全）振動性；脈沖；時滯

0　引言

脈沖是事物在其發展過程中受到瞬時擾動而產生的一種很普遍的現象，在物理學、化學、醫學、種群動態學、生態學、生物系統、控制系統、最優化理論以及火箭與航天運動模型中廣泛存在。對于這種現象，人們常用脈沖（偏）微分系統來描述，其最突出的特點是能夠充分考慮瞬時突變現象對狀態的影響，能夠更深刻、更精確地反映事物的變化規律。因此，對脈沖（偏）微分系統理論的研究愈來愈引起人們的重視。振動性理論作為脈沖（偏）微分系統定性理論的一個重要分支，也得到了長足的發展，已陸續取得一些很好的研究結果［1-9］。本文受文獻［1-2］的啟發，研究一類特殊的脈沖時滯拋物系統（1）在第二類邊界條件（2）下的（全）振動性問題，直接從（全）振動的定義出發，利用Green散度定理和第二類邊界條件把這類系統解的振動問題轉化為脈沖時滯微分不等式不存在最終正解的問題，利用二階脈沖時滯微分不等式的某些結果，建立了判別其所有解（全）振動的若干充分條件，所得結果充分反映了脈沖擾動和時滯效應在系統（全）振動中的決定性作用。所用方法異于通常的垂直相加法。

其中Im=｛1，2，…，m｝，I∞=｛1，2，…｝，R+=［0，∞］，Ω?Rn是具有逐片光滑邊界?Ω的有界區域，Δ是Rn中的n維Laplace算子，N表示?Ω的單位外法向量；τij，σi，ρj為正常數，i，j∈Im；0＜ti＜t2＜…＜tk＜…是固定點列且.

在本文中，對系統（1）我們總假定下列條件成立：

（H1）aij，bij∈PC（R+；R+），i，j∈Im；pi，qi∈PC（R+×；R+），這里PC表示具有如下性質的分片連續函數類：僅在t=tk，k∈I∞，為第一類間斷點，但在t=tk左連續；， x）｝，i∈Im，

（H2）ci∈PC（R+××R2m；R），并且

（H3）Ji∶R+×ˉΩ×R→R，對任意函數有

且

其中αik＞-1為常數，i∈Im，k∈I∞.

定義1 稱向量函數u（t，x）=（u1（t，x），u2（t，x），…um（t，x））T為系統（1），（2）的解，若對i∈Im，ui（t，x）滿足：

①對固定的x，，ui（t，x）是以tk為第一類間斷點的分段連續函數；，k∈I∞，且滿足（1）式的第二式；

定義2 稱數值函數v（t，x）：G→R為非振動的，若它最終為正或最終為負；反之，稱v（t，x）為振動的。稱向量函數u（t，x）：G→Rm為非振動的，若它的每一分量都是非振動的；稱向量函數u（t，x）：G→Rm為振動的，若它至少有一分量作為數值函數是振動的。稱向量函數u（t，x）：G→Rm為全振動的，若它的每一個分量作為數值函數都是振動的。

引理1［10］設a（t），b（t）∈（R+，R）是局部可積函數且b（t）≥0；0＜t1＜t2＜…＜tk＜…且，y（tk）；bk＞-1，k∈I∞；τ為正常數。若

則脈沖時滯微分不等式

無最終正解（參見文［10］中的定理2）。

1　主要結果及其證明

為敘述方便，引入如下記號：

定理1 若對每一個i∈Im，有

則系統（1），（2）的所有非零解在區域G內全振動。

證明（用反證法）假設系統（1），（2）有一個非全振動解u（t，x）=（u1（t，x），u2（t，x），…，um（t，x））T，則）在G內非振動。不失一般性，設ui0（t，x）最終為正，于是存在T＞0，使得?（t，x）∈［T，∞］×Ω，有.

考慮下面的方程：

（Ⅰ）當t≥T，t≠tk，k∈I∞時，對（4）式的第一式兩邊關于x在Ω上積分，有

由Green公式及邊值條件（2）有

其中d S是?Ω上的面積元素。

由條件（H3）易知

因此由（5）-（8）式及條件（H1）可得

（Ⅱ）當t≥T，t=tk，k∈I∞時，由（4）式中的脈沖條件，結合條件（H4）及定義1中的條件①可得

從而可知脈沖時滯微分不等式（9），（10）有最終正解Ui0（t）。另一方面，結合條件（3），由引理1知，脈沖時滯微分不等式（9），（10）無最終正解，矛盾。

若ui0（t，x）最終為負，令ˉui0（x，t）=-ui0（x，t），ˉUi 0（t）=（x，t）d x。則類似于上面的過程，同樣可以得到矛盾。定理1證畢。

仿照上述結果的證明方法，很容易得到下面的關于系統（1），（2）振動的結論。限于篇幅，其證明在此略去。

定理2 若存在某一i0∈Im，使得

則系統（1），（2）的所有非零解在區域G內振動。

注1 若用下面條件

代替引理1中的極限條件（參見文［10］中的定理3），則還可以得到分別平行于本文定理1、定理2的判別系統（1），（2）所有解（全）振動的新的顯式充分條件。

注2本文結果表明，系統（1），（2）的非零解在區域內（全）振動與脈沖量和時滯量有關。

注3由本文結果易知，若系統（1），（2）全振動，則系統（1），（2）必振動。

［1］羅李平，羅振國，曾云輝.帶脈沖效應的擬線性雙曲系統（強）振動性分析［J］.山東大學學報：理學版，2015，50（3）：57-61，66.

［2］羅李平，曾云輝，羅振國.具脈沖和時滯效應的擬線性雙曲系統的振動性定理［J］.應用數學學報，2014，37（5）：824-834.

［3］羅李平，曾云輝，羅振國.具脈沖效應的非線性時滯拋物系統的振動分析［J］.吉林大學學報：理學版，2014，52（6）：1131-1135.

［4］羅李平，羅振國，曾云輝.基于脈沖控制的非線性時滯雙曲系統的振動分析［J］.系統科學與數學，2013，33（9）：1024-1032.

［5］羅李平，俞元洪.具擬線性擴散系數的脈沖中立型拋物系統的（強）振動性［J］.振動與沖擊，2011，30（8）：183-186.

［6］羅李平.具非線性擴散系數的脈沖時滯雙曲型方程組的振動性［J］.自然科學進展，2008，18（3）：341-344.

［7］Luo L P，Liao J D，Gao Z H.Oscillation of systems of impulsive delay hyperbolic equations［J］.International Journal of Applied Mathematics and Applications，2008，1（2）：147-154.

［8］羅李平，歐陽自根.脈沖中立型時滯拋物偏微分方程組的振動準則［J］.應用數學學報，2007，30（5）：822-830.

［9］Luo L P.Oscillation theorem of systems of quasilinear impulsive delay hyperbolic equations［J］.Northeast.Math.J.，2007，23（3）：255-262.

［10］Yan J R，Kou C H.Oscillation of solutions of impulsive delay differential equations［J］.J.Math.Anal.Appl.，2001，254 （2）：358-370.

（Full）Oscillatory Criteria of Certain Impulsive Delay Parabolic Systems

LUO Li-ping
（College of Mathematics and Statistics，Hengyang Normal University，Hengyang Hunan 421002，China）

The（full）oscillation for a class of parabolic systems with impulsive perturbation and delay effect is investigated.By employing some results of first order impulsive delay differential inequalities，some sufficient criteria are obtained for the（full oscillation of all solutions of such systems under second boundary condition.The results fully indicate that the（full）oscillation is caused by impulses and delays.

（full）oscillation；parabolic system；impulse；delay

O175.26

A

1673-0313（2015）06-0023-04

2015-05-15

湖南省“十二五”重點建設學科項目（湘教發［2011］76號）

羅李平（1964-），男，湖南耒陽人，教授，主要從事（脈沖）偏微分系統解的性態研究。