JSZ期限結構模型對我國債券收益率曲線的擬合實證

趙前程

（1.東北財經大學 數學與數量經濟學院，遼寧 大連 116025；2.大連海洋大學 經濟管理學院，遼寧 大連 116023）

JSZ期限結構模型對我國債券收益率曲線的擬合實證

趙前程1，2

（1.東北財經大學 數學與數量經濟學院，遼寧 大連 116025；
2.大連海洋大學 經濟管理學院，遼寧 大連 116023）

利率期限結構是指債券的到期收益率與到期期限之間的關系，該結構可以通過利率期限結構圖表示，圖中的曲線即為收益率曲線。本文利用JSZ模型對我國債券市場利率期限結構模型進行估計，擬合效果好，而且運算速度比卡爾曼濾波更快。本文旨在提煉出JSZ模型的精華內容并闡述其計算的邏輯過程，并用于擬合我國銀行間固定利率債券，使研究利率期限結構學者能快速掌握JSZ模型的核心思想及其應用。

JSZ模型；利率期限結構；卡爾曼濾波

對高斯動態期限結構模型（GDTSM）的估計大多采用卡爾曼濾波方法，這種方法的最大問題是模型中的變量太多，如果初始值設置的不好，模型不易收斂，或因計算過程中矩陣出現奇異矩陣，造成運算無法繼續運行或結果不準確。JSZ模型是Scott Joslin、Kenneth J.Singleton、HaoxiangZhu（2011）提出，用于利率期限結構模型的估計。但JSZ（2011）文章內容較多，晦澀難懂，筆者下面的內容旨在提煉出JSZ模型的精華內容及其在我國債券收益率曲線擬合過程中的應用，相應的文獻綜述和證明過程請參考JSZ（2011）原文。

1　JSZ模型的核心

JSZ模型描述如下：

Xt是定價因子，∑x∑x′是Xt的條件協方差矩陣，εtP，εtQ～N（0，IN）。

對于0息票債券模型收益率仍然遵循Duffiee和Kan（1996）仿射函數，表示成：

Am，Bm滿足Riccati差分方程：

（1）、（2）、（3）、（4）是JSZ模型的規范化形式，為了便于計算，在命題1中JSZ給出其規范形式的等價形式：

任何規范的GDTMS觀測上等價于下面形式：

與標準的規范形式不同之處是：t是單位1向量，∑X是下三角矩陣，是按順序排列的約當型（Jordan）矩陣。

各個約當塊是按特征值的順序排列（從大到小）。

這種等價形式簡化了運算過程，而且便于計算機的處理，但定價因子Xt仍然是不可觀測變量，因此，JSZ給出定理1，存在可觀測的定價因子Ft=Wyt，任何規范的GDTMS等價于下面的模型：

在此模型里，定價因子可以用可觀測變量代替，假設名為Ft，這樣不可觀測的定價因子Xt變為可觀測的定價因子Ft，可以假定N個0息票債券或其線性組合可以被模型精確定價；Ft的Q分布可以描述成參數：

綜上所述，JSZ模型設置了2個測度P和Q，2種定價因子，可觀測的P和不可觀測的X，因此模型顯得復雜，但運算并不復雜，JSZ對似然函數的處理進一步簡化了估計難度。P測度下可觀測的收益率的條件似然函數為：

這樣，參數而JSZ模型只有前4個參數，存在實質性的改進。

2　JSZ模型對我國國債利率期限結構的實證

這里選取銀行間固定利率國債收益率數據，時間是從2006 年3月到2014年2月，取每月最后一天的數據，期限取6月、1年、2年、3年、5年、7年、10年。每一期限共計96個月度數據，數據來源是wind數據庫。數據的基本情況如圖1所示。

圖1銀行間固定利率國債收益率數據基本情況圖

為了利用Matlab軟件編程，將式（6）到式（11）描述成計算機可以處理的形式：

在P測度下：

F（t+1）-F（t）=K0P_F+K1P_F*X（t）+eps_F（t+1）

其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F

在風險中性Q測度下：

X（t+1）-X（t）=K0Q_X+K1Q_X*X（t）+eps_X（t+1）

其中：Cov（eps_X（t+1））=Sigma_X

F（t+1）-F（t）=K0Q_F+K1Q_F*X（t）+eps_F（t+1）

其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F

式（4）描述成計算機處理形式為：

模型收益率Yt=AF’+BF’*F（t）或：Yt＝AX’＋BX’*X（t）

利用JSZ模型及JSZ提供的Matlab工具箱，對模型的各參數進行估計，結果如下：

AF=［-0.076 9 0.075 8 0.101 1-0.026 3-0.190 7-0.0831 0.217 7］

BF=［0.458 30.459 00.435 80.399 90.328 70.273 5 0.216 7-0.4501-0.336 5-0.106 50.091 40.357 50.488 3 0.548 3-0.630 4-0.019 5 0.471 0 0.485 80.139 0-0.183 7 -0.441 0］

AX=［0.747 21.546 22.821 03.716 04.809 25.399 5 5.688 2］

BX=［0.975 50.947 10.893 70.844 30.756 10.680 4 0.585 80.873 10.748 30.565 00.441 60.294 90.216 2 0.152 50.869 80.742 50.556 90.433 20.287 80.210 5 0.148 4］

K0P_F=［-0.108 6 0.224 8-0.286 7］

K1P_F=［-0.050 00.182 40.001 8-0.013 1-0.129 3 -0.431 9 0.001 7-0.003 4-0.467 9］

K0Q_F=［0.274 1 0.122 7-0.050 3］

K1Q_F=［-0.005 10.075 80.285 0-0.006 8-0.008 4 -0.191 0-0.003 8 0.005 6-0.107 1］

K0Q_X=［0.315 0 0.000 0 0.000 0］

K1Q_X=［-0.009 9 0.000 0 0.000 0 0.000 0-0.054 6

0.0000 0.000 0 0.000 0-0.056 1］

下面對比模型的擬合值和實際值，如圖2所示。

圖2 JSZ模型計算的收益率數值與實際值比較

圖2中黑色實線表示實際值，紅色實線（如果無顏色，則是較淡的曲線）表示模型求得的擬合值，如果不放大圖，二者幾乎重合，說明JSZ模型非常好地擬合收益率曲線數據。

3　結論

JSZ模型可以很好地擬合我國銀行間國債收益率曲線，而且收斂的速度比用卡爾曼濾波技術快得多，幾秒完成運算。使用卡爾曼濾波需要設置初始值較多，如果設置不好，收斂的速度會非常慢，甚至不收斂，而JSZ模型無此問題。JSZ模型的另一個優點是需要估計的參數少，三因子模型只有4個，利用卡爾曼濾波需要估計22個參數。JSZ模型本身也非常靈活，感興趣學者可以在此基礎上加入宏觀經濟變量，來分析利率期限結構與宏觀經濟之間的關系。

主要參考文獻

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［3］S Joslin.Pricing and Hedging Volatility in Fixed Income Markets［R］.Working Paper，MIT，2007.

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［5］S Joslin，M Priebsch，K Singleton.Risk Premiums in Dynamic Term Structure Models with UnspannedMacro Risks［R］.Working Paper，Stanford University，2010.

［6］S Joslin，K Singleton，H Zhu.Supplement to“A New Perspective on Gaussian DTSMs.”［R］.WorkingPaper，Sloan School，MIT，2010.

［7］李宏瑾.市場預期、利率期限結構與間接貨幣政策轉型［M］.北京：經濟管理出版社，2013.

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10.3969/j.issn.1673-0194.2015.17.061

F812.5

A

1673-0194（2015）17-0115-03

2015-07-16