細化分數計算教學，滲透數形結合思想

林艷

數形結合是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化解決數學問題的思想方法。在分數計算教學中，我們借助圖形的直觀理解抽象的算理，嘗試運用畫圖的策略找準單位“1”，并且在個體產生認知沖突時借助圖形不斷地更正解決問題的策略，有效提高學生的數學思維能力和素養。

一、細化學生舊知，多樣呈現

計算教學是一個連貫性很強的知識系統，新舊知識之間存在非常密切的聯系。以六上“分數乘整數”的教學為例，它是在學生已經學習了分數的加減法基礎上教學的。學生通過之前的學習，對于分數直觀感知和認識上已有了一定的基礎，因此本節課的重點可以幫助學生學會把計算與圖形有機結合，在畫圖的過程中明白算理，體會“數形結合”也是一種解決問題的思考策略。具體如下：

師：（出示例題）你會列式嗎？

生：我是用分數的加法來做的：3/10+3/10+3/10=9/10米。

師：還有不一樣的方法嗎？

生2：用3/10×3=9/10米。

師：你能說說為什么能列式3/10×3嗎？

生：求3個3/10是多少就可以用乘法計算。

師：說得真好！3/10+3/10+3/10表示3個3/10相加，我們就可以列式為3/10×3。那3/10×3為什么等于9/10米？

生1：可以看圖，圖上3個3/10米涂了9格，就是3/10米。

生2：3/10×3，3和3相乘得9，分母不變，所以是9/10米。

師：分母怎么不變呢？

生：因為3/10+3/10+3/10的分母不變，分子相加就行了。

師：現在你會計算分數乘整數了嗎？

……

可以看出，學生首先想到的是用加法進行計算，因為這是他們以前學過的舊知，而且通過計算分數加法可以很快得出計算結果，所以加法計算必須在課堂上予以呈現。隨后以“3/10×3等于多少呢？”引入算理的教學，有了前面算法的初步理解，學生自然而然地還是想到用圖形進行解釋，嘗試用圖形架起算法直觀和算理抽象之間的橋梁，于是“3個3/10米涂了9格，就是9/10米”“3/10+3/10+3/10的分母不變，分子相加就行了”這樣的回答便油然而生了。

二、細化數量關系，找準單位“1”

正確找準單位“1”，是解答分數問題的關鍵，每一道分數問題中總是有關鍵句（含有分率的句子）。我們可以利用畫圖找單位“1”的方法幫助學生理解，使數量關系轉化為圖形關系，化抽象為直觀。以六上“分數連乘”為例：

師：（出示例題）怎樣算出三班做了多少朵呢？

生：用一班做的135朵乘8/9，再乘3/4就得到三班的朵數。

師：關系理清了，現在請你先畫線段圖表示三個班的花朵數，然后再列示。

師：你們能看出她畫的這兩條豎的虛線表示什么意思嘛？

生：第一條虛線是二班朵數是一班的8/9，把一班的朵數看做單位“1”，第二條是三班朵數是二班的3/4，把二班朵數看做單位“1”。

師：用一條虛線就很清楚地說明了兩個班稠花朵數之間的關系，幫助我們找準單位“1”的量，真不錯。能說說算式的意思嗎？

生：135×8/9算的是二班的朵數，再乘3/4就是三班的朵數。

師：哦！我們可以運用連續乘的方法求出三班的稠花朵數，這就是今天學習的內容。

對于學生來說，列式解決分數連乘的實際問題并不難，重點在于弄明白“乘法算式表示的意義”，教學時利用畫圖的方法幫助學生找到單位“1”的量，理解“二班朵數是一班的8/9，就是算135的8/9是多少”“三班朵數是二班的3/4，就是算120的3/4是多少”。數量與圖形充分結合，有效突破了理解乘法意義的難點。

三、細化算理，解決認知沖突

數形結合思想方法的滲透是潛移默化的，需要教師貫通學習材料與數學思想的聯系，讓學生經歷思考交流、比較、體驗和感悟的過程，在對學習材料的深入分析中，逐步提煉數形結合思想方法。以六上“分數除以整數”為例：

師：你能說說為什么4/5÷2=2/5升嗎？

生：在圖中把4份平均分成兩份，每份是2，畫右斜杠的部分表示2/5升。

師：再看看這位同學的列式？

生：他把4和2約分了。

師：同意嗎？

生1：分數乘法，這是分數除法不能約分。

生2：分數除法也可以約分，把4/5升平均分成兩份，求每份是多少？就是求4/5升的1/2是多少，我用4/5×1/2約分后就得出2/5升。

師：我們可以把除法轉化成分數乘法，約分后再計算。如果把果汁分給3為小朋友喝，你還能畫圖表示嗎？你選擇黑板上的哪一種算法解決？

生1：4平均分成3份不好分，我選擇的是第二種方法，4/5÷3=4/5×1/3=4/15升。

生2：畫圖可以表示出來，但把4份平均分成3份不太好分，4/5÷3=？，我選擇的也是第二種算法。

上述教學中，老師首先鼓勵學生結合畫圖采用不同的方法計算，在學生出現了兩種算法，老師并沒有立即進行算法優化，而是讓學生自主進行優化，因為4/5÷3無法像4/5÷2那樣進行計算，在學生產生認知沖突之后產生“優化算法”的需要，從而體會“乘一個數的倒數”方法的簡便性。