怎樣巧用第一類換元積分公式

史鵬軍

摘 要： 本文通過深入解析第一類換元積分公式，給出了巧用第一類換元積分公式快速計算不定積分的方法，該方法還可以判斷一個不定積分能否直接利用該公式進行計算，大大提高了解題效率.

關鍵詞： 第一類換元積分公式 復合函數 不定積分

不定積分是高等數學的核心內容之一，直接積分法、換元積分法、分部積分法是計算不定積分的基本方法，第一類換元積分法（也稱為湊微分法）是最基礎的，也是應用最廣泛的積分方法，因此，熟練掌握第一類換元積分法是后繼學習第二類換元積分法和分部積分法的基石.筆者就怎樣巧用第一類換元積分公式快速計算不定積分談談自己的認識和體會，供初學者借鑒.

1.深入解析第一類換元積分公式.

設函數f（u）具有原函數，u=φ（x）可導，則有換元積分公式[1]

？蘩f[？準（x）]？準′（x）dx=？蘩f[？準（x）]d？準（x）=[？蘩f（u）du]■.

（1）題設中的條件，函數f（u）具有原函數，即f（u）可積，其實f（u）一定是基本積分公式表中某一類型的函數.

（2）由？蘩f[？準（x）]d？準（x）可以看出，被積函數無論多么復雜，也只能看做二重復合函數的積分.

（3）若不定積分？蘩g（x）dx可以用此公式計算，則一定可化成？蘩g（x）dx=k？蘩f[？準（x）]d？準（x）（k是非零常數）的形式.

2.將基本積分公式表中的變量x全部換成一般的初等函數？準（x），得到下列廣義基本積分公式表.下面只列舉一部分.

①？蘩x■dx=■x■+c（u≠-1）→？蘩？準（x）■d？準（x）=■？準（x）■+C（u≠-1）；

②？蘩■dx=ln|x|+C→？蘩■d？準（x）==ln|？準（x）|+C；

③？蘩a■dx=■+C→？蘩a■d？準（x）=■+C；

④？蘩e■dx=e■+C→？蘩e■d？準（x）=e■+C；

⑤？蘩cosxdx=sinx+C→？蘩cos？準（x）d？準（x）=sin？準（x）+C；

⑥？蘩■dx=arctanx+C→？蘩■d？準（x）=arctam？準（x）+C；

3.怎樣巧用第一類換元積分公式計算不定積分？蘩g（x）dx？

（1）分析被積函數g（x）的結構特點，根據基本積分公式表中被積函數的類型，確定復合函數f[？準（x）]，將g（x）化成g（x）=h（x）f[？準（x）]；

（2）直接計算d？準（x）=t（x）dx，比較t（x）和h（x）得到常數k，k=■，于是得到？蘩g（x）dx=k？蘩f[？準（x）]d？準（x）；

（3）利用廣義基本積分公式表直接寫出結果.

注：第（2）步如果將t（x）和h（x）作比較，得到的不是常數k，而是關于x的函數，此時不能直接用第一類換元積分公式計算，需要對被積函數g（x）先做恒等變形，然后作分析.

4.舉例說明.

例1：計算？蘩xe■dx.

解：被積函數直接就是h（x）f[？準（x）]的形式，直接計算d（x■）=2xdx，比較2x和x得常數k=■=■，于是有廣義基本積分公式④得：

？蘩xe■dx=■？蘩e■d（x■）=■e■+C.

例2：計算？蘩（1+2x）■dx.

解：被積函數直接就是h（x）f[？準（x）]的形式，h（x）=1，？準（x）=1+2x，d？準（x）=2dx，比較得k=■，于是有廣義基本積分公式①得：

？蘩（1+2x）■dx=■？蘩f（1+2x）■d（1+2x）=■·■（1+2x）■+C=■（1+2x）■+C.

例3：計算？蘩■dx.

解：？蘩■dx=？蘩■■dx，h（x）=■，d（■）=■dx，比較得k=1，于是？蘩■dx=？蘩■d（■）=arcsin■+C.

例4：計算？蘩cos■xdx.

解：cos■x可以看成u■和u=cosx的復合，d（cosx）=sinxdx，但是經比較k=■不是常數，因此？蘩cos■xdx不能直接用第一類換元積分公式計算.此時可用三角公式將被積函數變形為：cos■x=■.

即？蘩cos■xdx=？蘩■dx=■？蘩dx+？蘩cos■xdx，

而？蘩cos2xdx可巧用公式求解得？蘩cos2xdx=■？蘩cos2xd（2x）=■sin2x+C，

于是？蘩cos■xdx=■x+■sin2x+C.

總之，第一類換元積分法主要是計算復合函數的不定積分，積分運算是微分運算的逆運算，因此，初學者只要熟練掌握復合函數和微分運算的基本知識，就可以運用本文所給出的方法快速計算不定積分.

參考文獻：

[1]同濟大學.高等數學（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.