巧用基本圖形解直角三角形應用題

楊明遠

解直角三角形的應用一直以來都是數學中考的熱點問題，學生需要將一些實際問題抽象成數學模型，通過邏輯推理并應用相關知識，找出數學模型的解，進而解決實際問題.對這一類型問題的練習，有助于發展學生運用數學知識分析問題、轉化問題、解決問題的意識和能力，讓學生進一步感受到數學的價值，有利于提高他們對其他問題的分析及解決能力.

解決此類問題的關鍵，是確定或構造直角三角形，借助邊角之間的關系，利用銳角三角函數、勾股定理或者列方程等方式加以解決.通常在一些問題中給出的圖形是一個包含特殊角的非直角三角形，這就需要通過添加輔助線，將其轉化為學生所熟悉的含有特殊角的直角三角形，進而根據已知的邊角關系求出未知量.在遇到非直角三角形的情況時，對一些基本圖形的掌握是否熟練往往決定了能否快速有效并準確地解決問題.

在（Ⅰ）和（Ⅱ）兩種情況中，作一條高即可將原三角形分解成兩個含有一條公共直角邊的特殊直角三角形.根據已知邊和角，依次解兩個直角三角形，或通過設立未知數，列方程，最終求出其余邊長.

而（Ⅲ）至（Ⅴ）三種情況，亦可通過作高，將原鈍角三角形補成直角三角形，該直角三角形由兩個含有一條公共直角邊的特殊直角三角形重疊而成，求未知邊長的方法與（Ⅰ）、（Ⅱ）相同.

只要能熟練掌握以上五種基本圖形，將實際問題轉化成適當的數學模型，并在模型中找出對應的基本圖形，很多難題就迎刃而解.下面就近幾年蘇州中考試題中的解直角三角形應用題，列舉兩例作簡單分析.

例2：如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）.有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向.

（1）求點P到海岸線l的距離；

（2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到達點C處.此時，從B測得小船在北偏西15°的方向，求點C與點B之間的距離.

綜上，在遇到解直角三角形應用題時，有意識地在數學模型中尋找自己所熟悉的基本圖形，就可以化繁為簡，省時省力，達到事半功倍的效果.當然，以上例題亦可用其他方法加以解決，在此不一一列舉.