神奇的莫比烏斯帶

崔曉彬

公元1858年，德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）和約翰·李斯丁發現：把一根紙條扭轉180°后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術般的性質.普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”，又叫“麥比烏斯圈”.圓圈做成后，莫比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬，結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈的所有部分，也就是說，它的曲面只有一個. 關于莫比烏斯帶的單側性，同學們可如下直觀地了解，如果給莫比烏斯帶著色，色筆始終沿曲面移動，且不越過它的邊界，最后可把莫比烏斯圈兩面均涂上顏色，即區分不出何是正面，何是反面.

有這么一個關于莫比烏斯帶的故事：有一個小偷偷了一位很老實的農民的東西，并被當場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發現小偷正是自己的兒子，于是縣官在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉，而在紙的反面寫了：農民應當關押.縣官將紙條交給執事官由他去辦理.聰明的執事官將紙條扭了個彎，用手指將兩端捏在一起.然后向大家宣布：根據縣太爺的命令應當放掉農民，應當關押小偷.縣官聽了大怒，責問執事官.執事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應當”二字讀起，確實沒錯，仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉.縣官知道執事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機報復.一日，又拿了一張紙條，要執事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役.執事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環上一劃，又拆開兩端，只見紙條正反面均涂上黑色.縣官的毒計又落空了.現實可能根本不會發生這樣的故事，但是這個故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點.

同學們做以下簡單的實驗，你就會發現“莫比烏斯圈”還有許多讓我們感到驚奇而有趣的結果.

【實驗一】如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“莫比烏斯帶”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟是一個大圈兒.

【實驗二】如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“莫比烏斯帶”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是.它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了.你會驚奇地發現，紙帶不是一分為二，而是一大一小的相扣環.

現在，莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建筑、藝術、工業生產中.

圖1：運用莫比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵.

圖2：在美國匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部“加強版”的云霄飛車——它的軌道是一個莫比烏斯圈，乘客在軌道的兩面上飛馳.

圖3：中國科學技術館的大廳里，有一個巨大的抽象雕塑，藍白兩色的彩燈沿著曲面不斷地滾動，讓人駐足觀看，流連忘返，這就是參照“莫比烏斯帶”設計的大型室內雕塑.

圖4：莫比烏斯圈循環往復的幾何特征，蘊含著永恒、無限的意義，因此常被用于各類標志設計.微處理器廠商PowerArchitecture的商標就是一條莫比烏斯圈.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）