建構方程模型 巧解實際問題

陳小紅

“一切問題都可以轉化為數學問題，一切數學問題都可以轉化為代數問題，而一切代數問題又都可以轉化為方程問題.因此，一旦解決了方程問題，一切問題將迎刃而解.”

——法國數學家 笛卡兒

一元一次方程是最簡單、最基本的方程.它在日常生活中有著極其廣泛的應用，是人們解決實際問題常用的方法，同時也是中考命題的一個熱點.列一元一次方程解應用題的關鍵是把實際問題模型化，尋求問題中隱藏的相等關系，再列出方程，突顯數學建模思想和方程思想.

問題1：教育儲蓄問題

師：我們大家都是七年級同學，六年后將要走進大學校門，假設上大學需要5000元學費，你的爸爸媽媽現在就參加教育儲蓄. 下面有兩種儲蓄方式：

（1） 先存一個3年期的，年利率為2.7%，3年后將本息和自動轉存一個3年期；

（2） 直接存入一個6年期的，年利率為2.88%.

你認為哪種儲蓄方式開始存入的本金比較少？

1. 獨立思考階段

獨立思考、探究，結合自己已有知識，尋求新的問題解決辦法.

2. 小組討論交流階段

有了自己的想法后，可與小組內的同學展開交流，學數學的過程是在頭腦中構建數學認知結構的過程，用自身的創造活動去感受數學是做出來的.

3. 成果展示階段

生1：（板書）設開始存入x元.

若按第一種方式，則1.081x（1+2.7%×3）=5 000，1.168 561x=5 000，x≈4 279.

師：談談你的想法.

生1：我是這樣想的：

第一個3年期，本金為x元，利息為x×2.7%×3，本息和為x（1+2.7%×3）=1.081x.

第二個3年期，本金為1.081x，利息為1.081x×2.7%×3，本息和要達到5 000元.

就是說，開始大約存入4 280元，3年期滿后將本息和再存一個3年期，6年后能達到5 000元.

生2：若按第二種儲蓄方式，則：x（1+2.88%×6）=5 000，x=4 263.如果直接存一個6年期的，開始只需存入4 263元.

師：通過學習你們選擇哪一種儲蓄方式呢？

生：第二種更合算.

4. 歸納總結階段

師：通過探究學習，你有什么收獲？

生：我了解了有關儲蓄的一些知識，理解了利息、利息稅、利率.

生：我還體會到，我們要有一定的經濟頭腦，要學會理財，用最少的錢發揮最大的效益.

問題2：打折銷售問題

店主站在一張桌子后，桌子上放著兩件衣服，身后立著一塊醒目的牌子：“放血大處理”，“血”字是紅色的.

店主喊：“大家過來看一看，瞧一瞧，走過的、路過的不要錯過，本店不計成本揮淚大甩賣，所有服裝兩折處理，每件只賣48元……”

一工商人員上場對店主說：“你這是違法行為，請把牌子收起來，不能這么喊. ”

店主：“我確實是兩折處理呀！”

工商人員：“你把衣服的成本價提高了多少標價？”

店主：“我提高了500%以后標價的.”

工商人員：“同學們，他將每件衣服按成本價提高了500%進行標價，再按兩折處理，每件衣服賣48元，你們算一算，他到底是賺還是虧？”

1. 猜測：小品中的店主是賺是虧？

2. 討論

①如果一件衣服的成本價為100元，按成本價提高500%標價，標價是多少？再按標價打兩折銷售，實際售價是多少？

②假設一件衣服的成本價為x元，按成本價提高500%標價，標價是多少？再按標價打兩折銷售，實際售價是多少？

③你所列出的實際售價與小品中的商家的售價有什么關系？

④根據這個等量關系列出方程，并解出方程；驗證你的猜測是否正確.

3. 引申

如果不知道小品中店主的售價是多少，但知道他每件衣服賺了20元錢，其他條件不變，那么每件衣服的成本是多少元？

列方程：x（1+500%）×20%-x=20.

5. 提問

在現實生活中，你見過哪些打折銷售活動？是否所有的“打折銷售”都存在欺詐行為？你認為哪些存在欺詐行為？

6. 反饋

①一件商品按成本價提高30%后標價，又以8折銷售，售價為260元，這件商品的成本價是多少？

②某家電商場將某種品牌的彩電按成本價提高了20%標價，誰知市場競爭激烈，商場只好按標價的九折銷售，結果每臺彩電只獲利80元.該品牌的家電成本價與實際售價各是多少？

數學建模能力的培養不在于某堂課或某幾堂課，而應貫穿于學生的整個學習過程，要使學生能在學習數學的過程中自覺地去尋找解決問題的一般方法，真正提高數學能力與學習數學的能力. 數學應用與數學建模，其目的不是為了擴充學的課外知識，也不是為解決幾個具體問題進行操作，而是要培養學生的意識，學會方法，讓學生自己去探索、研究、創新，從而提高學生解決問題的能力，讓數學進入生活，讓生活走進數學.

（作者單位：江蘇省如皋市實驗初級中學）