哥尼斯堡七橋問題

刁品泉

請你做下面的游戲：一筆畫出如圖1的圖形來.規(guī)則：筆不離開紙面，每根線都只能畫一次.這就是古老的民間游戲——一筆畫.

你能畫出來嗎？如果你畫出來了，那么請你再看圖2能不能一筆畫出來？

雖然你動了腦筋，但我相信你肯定不能一筆畫出來！

為什么我的語氣這么肯定？我們來分析一下圖2.我們把圖2看成是由點和線組成的一種集合.圖里直線的交點叫作頂點，聯(lián)結(jié)頂點的線叫作邊.這個圖是連通的，即任何兩個頂點之間都有邊.很顯然，圖中的頂點有兩類：一類是有偶數(shù)條邊連它的，另一類是有奇數(shù)條邊連它的.一個頂點如果有偶數(shù)條邊連它，這點就稱為偶點；如果有奇數(shù)條邊連它，就稱它為奇點.我們知道，能一筆畫的圖形只有兩類：一類是所有的點都是偶點.另一類是只有二個奇點的圖形.圖2有六個奇點，四個偶點，當然不能一筆畫出來了.

為什么能一筆畫的圖形只有上述兩類呢？有關(guān)這個問題的討論，要追溯到二百年前的一個著名問題：哥尼斯堡七橋問題.

18世紀東普魯士哥尼斯堡城（今俄羅斯加里寧格勒）的普萊格爾河，它有兩個支流，在城市中心匯成大河，中間是島區(qū)，河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸聯(lián)結(jié)，如圖3所示.由于島上有古老的哥尼斯堡大學，有教堂，還有哲學家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大學生們經(jīng)常沿河過橋散步.漸漸地，愛動腦筋的人們提出了一個問題：一個散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點.這就是七橋問題，一個著名的圖論問題.

這個問題看起來似乎很簡單，然而許多人作過嘗試始終沒有能找到答案.因此，一群大學生就寫信給當時年僅20歲的大數(shù)學家歐拉.歐拉從千百人次的失敗，以深邃的洞察力猜想，也許根本不可能不重復地一次走遍這七座橋，并很快證明了這樣的猜想是正確的.歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖4所示.

于是“七橋問題”就等價于圖5中所畫圖形的一筆畫問題了.歐拉注意到，如果一個圖能一筆畫成，那么一定有一個起點開始畫，也有一個終點.圖上其他的點是“過路點”——畫的時候要經(jīng)過它.

現(xiàn)在看“過路點”具有什么性質(zhì).它應(yīng)該是“有進有出”的點，有一條邊進這點，那么就要有一條邊出這點，不可能是有進無出，如果有進無出，它就是終點，也不可能有出無進，如果有出無進，它就是起點.因此，在“過路點”進出的邊總數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)，即“過路點”是偶點.

如果起點和終點是同一點，那么它也是屬于“有進有出”的點，因此必須是偶點，這樣圖上全體點都是偶點.

如果起點和終點不是同一點，那么它們必須是奇點，因此，這個圖最多只能有兩個奇點.

現(xiàn)在對照七橋問題的圖，所有的頂點都是奇點，共有四個，所以這個圖肯定不能一筆畫成.

歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓撲學的研究提供了一個初等的例子.

事實上，中國民間很早就流傳著這種一筆畫的游戲，從長期實踐的經(jīng)驗，人們知道如果圖的點全部是偶點，可以任意選擇一個點做起點，一筆畫成.如果是有兩個奇點的圖形，那么就選一個奇點做起點以順利地一筆畫完.可惜的是，古時候沒有人對它重視，沒有數(shù)學家對它進行經(jīng)驗總結(jié)，以及加以研究.

今天學習歐拉的成果不應(yīng)是單純把它作為數(shù)學游戲，重要的是應(yīng)該知道他怎樣把一個實際問題抽象成數(shù)學問題.研究數(shù)學問題不應(yīng)該“為抽象而抽象”，抽象的目的是為了更好地、更有效地解決實際產(chǎn)生的問題，歐拉對“七橋問題”的研究就是值得我們學習的一個樣板.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）