實際問題與一元一次方程

陳娟

一、 探究目標

1. 掌握把實際問題轉化為數學問題，建立數學模型的解題方法，同時能夠對所求出的方程的解進行分析判斷；

2. 通過探究球賽積分表問題，滲透數學建模思想；

3. 經歷數學建模的過程，提高處理圖表信息、分析問題、解決問題的能力，增強創新精神和應用數學的意識，認識到數學的科學價值和應用價值.

二、 探究過程設計

問題1 通過觀察你能在這張表中獲取到什么信息（能否利用表格信息得知積分規則）？

由表中最后一行可以看出，負一場積1分，再利用第一行的數據可以算出勝一場積2分. （如果不能順利算出積分規則，應注意最后一行的信息能傳遞給我們什么信息，怎樣利用其他行所給數據，根據等量關系可以最終算出積分規則嗎？）

【意圖】引導學生運用表格信息幫助自己解決問題，合理梳理表格中所隱含的信息，從而找到對自己有價值的信息，進而使問題得解.

用不同行的數據計算，所得結果相同嗎？（相同）. 那么這個結果是可以通過驗證符合事實的.

小結：通過鋼鐵隊的積分情況，很明顯地看出負一場的積分，又通過其他任意一隊的積分情況可以算出勝一場的積分，由此看出，我們要善于發現表格的特殊之處所傳達的特殊的或重要的信息.

問題2 我們通過觀察得出了積分規則，請同學們繼續觀察，能否寫出總積分與勝負場數之間的關系？

一個隊的總積分=勝1場得分×勝場數+負1場得分×負場數（得到需要的重要等量關系，它是后續問題的研究基礎）.

小結：由這個等量關系我們看出，總積分與勝、負場數有著緊密的聯系，同時只要勝場數確定了，那么負場數通過（14-m）的關系也確定了，所以也可以說總積分與勝場數有著緊密的關系.

【意圖】由生活中的常識性問題抽象出等量關系，避免學生感到數學建模的抽象性，同時滲透應用數學的意識，提高應用能力，這種處理方法也符合7年級學生的認知，使學生更易于接受，降低了數學抽象性的難度.

問題3 若一個隊勝了m場，能否用含m的式子表示總積分？

解：一個隊勝了m場，則負（14-m）場，那么，總積分=2m+（14-m）=m+14.

【意圖】完成課本第一問，也是本節課的關鍵一問，實現了第一個難點的突破，同時第一問的思考內容與第二問緊密相關，順利解決第一問是完成第二問的保障.

問題4 如果一個隊的總積分是19分，你能算出它勝了多少場嗎？（5場）

小結：到此我們已經可以根據勝場數算出一個隊的總積分了，當然我們也可以通過一個隊的總積分算出它的勝場數，在這個等量關系中有兩個量（總積分、勝場數）是不確定的，但是當我們給定其中一個量的值時，比如總積分為19，那么等式就變為19=m+14，那么m作為我們要求的未知量，這個等式就是我們所學的一元一次方程，m有唯一解. 反過來，當我們勝場數是確定的，那么總積分也是唯一解.

問題5 某隊的勝場積分能等于它的負場積分嗎？請列式說明. （如果學生有困難，引導學生思考題目中是否隱含了等量關系？利用這個等量關系可以列出方程嗎？）

（小組討論，代表發言，使用學案，展示學案）

解：不能，設一個隊勝了x場，則負了（14-x）場.

列方程得2x=（14-x），解得x=14/3 .

因為x（所勝場數）的值必須是整數，所以所得解不符合實際意義，由此判定沒有某隊的勝場積分能等于它的負場積分.

小結：用方程解決實際問題時，不僅要注意解方程的過程是否正確，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義.

【意圖】要用反證法檢驗方程的結果是否符合實際，這是一種常用數學方法

小結：1. 生活中數據信息的傳遞形式是多樣的.

2. 解決有關表格問題，首先根據表格中給出的有關信息，找出數量間的關系，再運用數學知識解決有關問題.

3. 利用方程不僅可以求得實際問題的具體數值，還可以進行推理判斷.

4. 運用方程解決實際問題，要檢驗方程的解是否符合實際意義.

三、 拓展與提高

問題6 請大家思考如果表格中鋼鐵隊的積分情況沒有給出（即，沒有最后一行信息），你還能求出積分規則嗎？（積分規則涉及兩個未知量，考慮設兩個未知數. ）

【分析】可以設勝一場積x分，負一場積y分. 設兩個未知數時我們需要列幾個方程？（兩個）你能根據表格數據列出兩個方程嗎？

這是個方程組，是幾元幾次的呢？（二元一次方程組）解法我們以后再講.

練習：足球比賽的記分規則為：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分.一支足球隊在某個賽季中共比賽14場，現已比賽了8場，輸了一場，得17分.請問：

（1） 前8場比賽，這支足球隊共勝了多少場？

（2） 這支球隊踢滿14場比賽最高能得多少分？

（3） 通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽，得分不低于29分，就可以達到預期的目標.那么，在后面的6場比賽中，這支球隊至少還要勝幾場，才能達到預期目標？

（2） 35分.

后面6場全勝得分最高，所以：17+6×3=35.

（3） 3場.

小結：這樣我們就知道了在解決實際問題時不但可以用一元一次方程的知識，還可以用方程組，甚至還有其他的方法，讓我們拭目以待吧！

（作者單位：江蘇省如皋市實驗初級中學）