從一道中考題說起

陳平

從正面看到的圖形稱為主視圖，從左邊看到的圖形稱為左視圖，從右邊看到的圖形稱為右視圖. 一般中考中三視圖的題目難度不大，但是也有一些容易忽視的地方，我們來看一道中考題：

例題 （2015·呼和浩特，第9題）如圖1是某幾何體的三視圖，根據圖中所標的數據求得該幾何體的體積為（ ）.

A. 236π B. 136π

C. 132π D. 120π

【解析】本題考查的是三視圖、圓柱體積和學生的空間想象能力. 但本題與以前的題目不同之處在于，沒有立體圖，需要學生在想象的基礎上去計算圓柱的體積.

請大家注意，本題中的物體擺放處于非穩態狀態——幾何體可以滾動. 我們要不要去區分哪個圖是什么視圖嗎？

答案是不用. 我們只要從三視圖中發現物體的形狀和位置關系，至于到底哪個圖是從哪個方向觀察所得并不是最主要的. 我們先從右面的視圖看，是兩個同心圓，再從左面上下的兩個視圖看，我們可以發現該幾何體是兩個圓柱體的組合，我們可以看成一個圓柱體擺放在另一個圓柱體的上面，也可以想象成一個圓柱體黏合在另一個圓柱體的側面，這其實對這個幾何體的體積是不影響的. 而我們要注意的是這個三視圖三個圖中都沒有虛線，說明圓柱體沒有掏空. 這樣計算起來就很簡單，分別算出兩個圓柱體的體積即可.

大圓柱體的體積為42π×8=128π，小圓柱體的體積為22π×2=8π，所以該幾何體的體積為128π+8π=136π. 故選B.

那我們來變一下題目吧. 如圖2，在左面的兩個視圖中增加虛線，雖然按照純理論這個幾何體是做不出來的，但我們這里主要是開拓你的眼界. 我們這樣修改，可以把這個題目的難度稍微升級一下，讓你對這里的變化強化一下.

那么添加了虛線說明了什么？虛線說明在這個集合體的內部還存在著邊線，此題中在內部的邊線說明這個幾何體的內部被掏空了，那么這個幾何體的體積怎么求呢？

體積應該是之前算下的136π再減去一個掏空圓柱體的體積136π-32π=104π.

我們再來看看關于虛線的一些三視圖中考題，首先我們來看2015年南昌第4題：

如圖3是將正方體切去一個角后形成的幾何體，則該幾何體的左視圖為（ ）.

【解析】這道考題比較簡單，我們可以利用三視圖的定義直接判斷，從左邊看到的圖形中，那條斜線是看得見的，所以是實線，于是得到答案C.

我們再來看2013年黃岡的一道試題：

已知一個正棱柱的俯視圖和左視圖如圖4，則其主視圖為（ ）.

【解析】本題考查內容是由三視圖判斷幾何體、簡單組合體的三視圖. 首先我們要根據俯視圖和左視圖判斷該幾何體，然后再去確定其主視圖. 根據此正棱柱的俯視圖和左視圖得到該幾何體是正五棱柱，其主視圖應該是矩形，而且有看到的兩條棱，背面的棱用虛線表示，故選D.

本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵. 主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形. 特別強調，看不見的棱一定要用虛線表示.

我們再來看2014年呼和浩特的一道中考試題：

如圖5是某幾何體的三視圖，根據圖中數據，求得該幾何體的體積為（ ）.

A. 60π B. 70π

C. 90π D. 160π

這道試題與例題有點相似，主要考查由三視圖判斷幾何體.

從圖形中的虛線容易判斷此幾何體為空心，觀察三視圖發現該幾何體為空心圓柱，其內徑為3，外徑為4，高為10，所以其體積為10×（42π-32π）=70π，故選B.

本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解決本題的關鍵是得到此幾何體的形狀，特別是要突出虛線在這道題中的作用.

我們在觀察三視圖的時候，不僅要從三視圖中判斷幾何體的形狀，確定幾何體構成的位置，還要注意三視圖中的細節，弄清實線和虛線所代表的意義，這樣才能準確地把握題意，正確作答.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）