在數學學習中培養舉一反三的能力

林琳

在數學學習中，培養創新思維能力的途徑是多渠道的，有效地進行舉一反三學習是培養創新思維能力的有效途徑之一.舉一反三能夠讓我們在無限的空間里實現思維的飛躍，有助于開啟我們的應變力、想象力、創造力之門；舉一反三以問題探究為中心，通過研究一個問題的多種解法或同一類型問題的相似解法，拓展我們思維的廣度和深度；舉一反三重在培養我們探究性學習的意識，激發我們的創造性學習的激情. 青少年的天性是好奇和求異，凡事喜歡問個究竟和另辟蹊徑. 因此，我們要敢于求異，勇于創新.

我們都知道，數學是人類從事計量、建筑等行業必不可少的工具學科. 進入21世紀以來，社會更加需要具有探究能力和創新精神的人才，更加需要能夠舉一反三的人才. 因此，我們必須注重培養自己的探究能力，培養舉一反三的能力，只有這樣，才能適應新時代的發展，讓我們在走向社會后也能繼續學習.

那么如何在初中數學學習中培養自己舉一反三的能力呢？

1. 成為課堂的主人

我們是課堂教學的主體，學習主要是我們自己的事情，老師只能是一個引導者和促進者. 傳統教學模式中，我們習慣認為：老師講得越多、越細、越深、越透，我們學得就越快、越好，老師帶領我們探索，總比我們自己摸索要來得更快一些. 實際上，這樣做容易造成我們思維的惰性. 如在學習“三角形面積”時，經常是老師演示，證明三角形等于和它等底等高的平行四邊形面積的一半，使我們獲得感性認識，并反復強調“等底等高”這個前提條件，從而推出三角形面積的計算公式.這種學習我們是知識的被動接受者，大大減少了我們自己思考的機會，從而使我們的思維空間越來越狹窄，不要說“反三”了，“舉一”也舉不好. 因為在課堂學習中，我們不需要思考，而在解答問題需要思考的時候，我們往往不知如何去思考. 我們對所要掌握的知識，沒有經過自己的思考、探究，就似是而非地“知道了”，其實是一知半解，從而導致我們運用知識去理解和解答有關問題的能力不強，造成我們思維的惰性.要改變這一現狀，我們就應該根據自己的體驗，用自己的思維方式，自主地去探究，去發現有關的數學知識. 要做到：我們能獨立思考的，不靠老師提示；我們能獨立操作的，不靠老師代替；我們能獨立解決的，不靠老師示范. 這樣才能培養我們獨立思考和“舉一反三”的能力.

2. 樹立正確的自信心

我們要相信自己，要相信能通過自己的努力，學好數學知識.基礎較好的同學可以在“舉一”的基礎上“反三”甚至“反四”，中等的同學可以“反一”“反二”，基礎不太好的同學把“一”舉好就行了. 另外，我們可以在自由討論中做到“生幫生”，從而促進大家的共同進步.

舉一反三是培養我們創新思維能力的有效途徑之一. 下面結合學習實踐，談談在學習中誘發舉一反三的幾種做法.

1. 變換題設或結論

即通過對習題的題設或結論進行變換，而對同一個問題從多個角度來研究.這種訓練可以增強我們解題的應變能力，培養思維的廣闊性和深刻性，從而培養創新思維的品質.

2. 變換題型

即將原題重新包裝成新的題型，改變單調的習題模式，從而訓練我們解各種題型的綜合能力，培養我們思維的適應性和靈活性，有助于我們創新思維品質的形成.

那么如何做到以上兩點呢？下面以應用題為例一起探討. 應用題是初中數學的一個重要部分，也是難點所在.

列方程解應用題一般步驟為：（1） 審題：理解題意，弄清題目中的數量關系，找出其中的相等關系；（2） 設未知數：用字母表示題目中的未知數，并用這個字母和已知數一起組成表示各數量關系的代數式；（3） 列方程；（4） 解方程；（5） 答：檢查所求的解是否使方程成立，是否使實際問題有意義，寫出答案.

列方程解應用題時，應根據題意靈活設未知數，一般情況下，用直接設元法設出未知數，但有時為了解題的方便，采取間接設元法；注意檢驗方程的解是否符合實際情況，對于不符合題意的解，一定要寫明舍去的理由；注意答案的語言要明確完整，不能過于簡單或省略不寫.

現在就以其中常見的類型——行程問題與大家一起探討.

1. 基本量是：路程、速度和時間.

2. 基本關系是：

3. 基本類型：相遇問題、相背問題、追及問題、行船（風速）問題、環形跑道問題等.

4. 解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩個對象的時間關系或所走的路程關系，一般情況下問題就能迎刃而解. 分析中還常常借助畫線段圖進行分析，理解行程問題.

5. 行船（風速）問題是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會發生變化：

①順水（風）速度=靜水（無風）速度+水流速度（風速）；

②逆水（風）速度=靜水（無風）速度-水流速度（風速）.

下面就讓我們一起進入行程問題的世界：

例1 A、B兩地相距1 260千米，慢車以50千米/小時的速度從A地出發，同時一列快車以70千米/小時的速度從B地出發相向而行，當兩車相距60千米時，兩車行駛了（ ）.

A. 9.5小時

B. 10小時

C. 11小時

D. 10小時或11小時

【分析】題中兩車相距60千米，沒有說明是在兩車相遇前相距60千米，還是在兩車相遇后背向行駛時相距60千米，所以此題有兩種情況. 可以借助線段圖（如圖1）理清情況，并列出方程解答.

解：設當兩車相距60千米時，兩車行駛的時間為x小時，1 260-60=50x+70x或1 260+60=50x+70x.

得到兩種情況的結果分別是10小時和11小時，答案選擇D.

例2 汽車以72千米/時的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷，駕駛員按一下喇叭，4秒后聽到回聲，這時汽車離山谷多遠？已知空氣中聲音的傳播速度約為340米/秒. 設聽到回聲時，汽車離山谷x米，根據題意，列出方程為（ ）.

A. 2x+4×20=4×340

B. 2x-4×72=4×340

C. 2x+4×72=4×340

D. 2x-4×20=4×340

【分析】此題相當于是一個相遇問題，按喇叭后汽車還在向前行駛，而聲音的速度快，聲音到達山谷后又“回來”與汽車“相遇”. 可以從線段圖（如圖2）中這樣理解，在4秒的時間時，聲音“所走的路程”與汽車行駛的路程總共等于汽車撳喇叭時離山谷的距離的兩倍. 但這里也有要注意的地方，第一，問題中的x米是聽到回聲時汽車離山谷的路程；第二，條件中兩個單位不統一，要化為一致后才能列方程.

72千米/時=20米/秒.

解：設聽到回聲時，汽車離山谷x米.

2x=4×340-4×20.

通過比較可以得到答案應該選擇A.

例3 如圖1所示，兩人沿著邊長為90 米的正方形， 按A→B→C→D→A……的方向行走. 甲從A點以65米/分鐘的速度、乙從B點以74米/分鐘的速度行走，當乙第一次追上甲時，將在正方形的________邊上.

【分析】此題類似于環形跑道問題，也是一個追及問題. 要充分把握好兩者出發時的相距路程，追及過程中的路程與時間關系. 雖說是環正方形的行程問題，但我們也可以在線段圖中體現出等量關系. 值得注意的是，本題不適合直接設，應間接設乙從出發到追上甲所用的時間為x分鐘 . 求出時間后再解決問題.

解：設乙從出發到追上甲所用時間為x分鐘，

74x-65x=270，

x=30，

30×74÷360=37/6，相當于乙走了6圈多了60米，從解答可知當乙第一次追上甲時，將在正方形的BC邊上.

通過以上幾道例題的講解，我們能夠看出解行程問題的主要方法就是畫出線段圖，分析出其中的等量關系.如果同學們在解應用問題時都能找到合適的方法整理出等量關系，那么應用問題就會迎刃而解.

舉一反三能夠有助于開啟我們的應變力、想象力、創造力之門；舉一反三以問題探究為中心，通過研究一個問題的多種解法或同一類型問題的相似解法，拓展我們思維的廣度和深度. 舉一反三重在培養我們探究性學習的意識，激發我們的創造性學習的激情.

（作者單位：江蘇省如皋市實驗初級中學）