一元一次方程中的常見思想方法

陳小云

數學思想是解題的靈魂，對數學思想方法的領悟與運用滲透在整個初中階段的數學學習中，是克服題海戰術，取得優異成績的有效策略. 在列一元一次方程解應用題過程中，若能靈活運用數學思想方法來求解，往往能取得事半功倍的效果. 現就列一元一次方程解應用題中的常見的思想方法舉例說明.

一、 四個基本思想

1. 數形結合思想

數形結合思想是指在研究問題的過程中，由數思形、由形想數，把圖形和蘊含的數量關系巧妙地結合起來，使問題更直觀，更容易解決.

例1 如圖1，8塊相同的長方形地磚拼成一個大長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？

【分析】通過觀察圖形可以發現，由大長方形的上下兩條邊可以得出兩個小長方形的長等于一個小長方形的長+三個小長方形的寬，從而得出一個小長方形的長等于三個小長方形的寬；同樣由大長方形的左右兩條邊也可以得出一個小長方形的長+一個小長方形的寬=60.

解：設長方形地磚的寬為x cm，則長為3x cm，

根據題意，得：x+3x=60，

解得x=15，則3x=45.

答：長方形地磚的長為45 cm，寬為15 cm.

2. 整體思想

當一個問題中未知數較多，一個一個地求解比較復雜，或有時不能求解時，可將其中滿足某一共同特性的固定代數式看作一個整體，通盤考慮，則可既便于列方程，又便于解方程.

例2 一個五位數最高位上的數字是2，如果把這個數字移到個位數字的右邊，那么所得到的數比原來的數的3倍多489，求原數.

【分析】本題若逐個設出各位數字，則未知數過多，不易列出方程. 如果從整體思考，視后四位數為一個整體，方便簡捷.

解：設后四位所組成的數是x，則原來是20 000+x，現在是10x+2，所以10x+2=3（20 000+x）+489，

解得x=8 641.

答：原五位數為28 641.

3. 分類思想

分類討論思想就是把應用題中包含的各種可能情況按照某一標準分成若干類，然后對每一類分別進行解決，從而達到解決整個問題的目的.

例3 A和B兩地相距1 890千米，甲乙兩列火車分別從A，B兩地同時出發相向而行，甲每小時行120千米，乙每小時行150千米，經過多長時間兩車間的距離是135千米？

【分析】兩車相距135千米，存在兩種情況，相遇前相距135千米或相遇后相距135千米，所以應進行分類討論.

解：設經過x小時后，兩車相距135千米，那么甲行駛了120x千米，乙行駛了150x千米. 下面分兩種情況：

1. 當兩車在相遇前相距135千米時，則根據題意，得120x+135+150x=1 890，

解得x=6.5；

2. 當兩車在相遇后相距135千米時，則根據題意，得120x+150x=1 890+135，

解得：x=7.5.

答：經過6.5或7.5小時兩車間的距離是135千米.

4. 轉化思想

轉化思想是初中數學中一種常見的思想方法，它能將復雜的問題轉化為簡單的問題. 一個難以直接解決的問題，可通過深入觀察和研究，將其轉化為簡單問題迅速求解.

例4 甲乙兩人從相距50千米的兩地同時相向而行，甲每小時走7千米，乙每小時走3千米，甲帶一只小狗每小時走9千米，當狗一遇到乙時又返回甲處，一遇到甲時又返回乙處，直到兩人相遇，求小狗走的路程.

【分析】本題看似復雜，在解題時需根據題意理清：狗重復往返跑，直到甲乙兩人相遇時狗才停住，因而小狗走的時間就恰好是甲乙相遇需要的時間，所以就將求小狗走的路程問題轉化為求甲乙兩人相遇的時間問題，這也是本題的突破口.

解：設甲乙兩人相遇時用了x小時，根據題意，得：（7+3）x=50，

解得：x=5.

則小狗走的路程是：9×5=45（千米）

答：小狗走的路程為45千米.

二、 三個常用方法

1. 設k法

利用一元一次方程解應用題時經常會遇到有關比例問題，這時若能巧妙地設定未知單位量k，就能輕松地列出方程求解.

例5 （2014·臺灣）桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形的杯子，杯深均為15公分，各裝有10公分高的水，下表記錄了甲、乙、丙三個杯子的底面積. 今小明將甲、乙兩杯內一些水倒入丙杯，過程中水沒溢出，使得甲、乙、丙三杯內水的高度比變為3∶4∶5. 若不計杯子厚度，則甲杯內水的高度變為多少公分？ （ ）

A. 5.4 B. 5.7 C. 7.2 D. 7.5

【分析】根據甲、乙、丙三杯內水的高度比變為3∶4∶5，設后來甲、乙、丙三杯內水的高度為3k、4k、5k，由表格中的數據列出方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出甲杯內水的高度.

解：設后來甲、乙、丙三杯內水的高度分別為3k公分、4k公分、5k公分，根據題意，得：

60×10+80×10+100×10=60×3k+80×4k+100×5k，解得：k=2.4，則甲杯內水的高度變為3×2.4=7.2（公分）. 故選C.

2. 間接設法

在列一元一次方程解應用題時，有時由于問題較復雜或特殊，直接設未知數不能解或是解的過程比較復雜，這時我們可以設與所求問題相關的量為未知數，便于列方程.

例6 李偉從家里騎摩托車到火車站，如果每小時行30千米，那么比火車開車時間早到15分鐘.若每小時行18千米，則比火車開出時間遲到15分鐘.若李偉打算在火車開出前10分鐘到達火車站.求李偉此時騎摩托車的速度該是多少？

【分析】本題若用直接設法會相當復雜，所以采用間接設法，關鍵抓住“早”“遲”兩個時間，再根據隱藏的數量關系——路程不變來列方程.

3. 逆推法

數學中有些問題，如果按照題意敘述由后往前推算會顯得很簡單，這種解決問題的方法叫逆推法. 逆推法是解決數學問題的一種重要方法. 有些數學問題若按常規思維方法考慮非常困難，而用逆推法就會十分簡便.

例7 王大伯賣西瓜，第一天賣了全部的一半還多1個，第二天賣出剩下的一半還多3個，正好全部賣完. 一共有多少個西瓜？

【試一試】

（2015·寧德）為支持亞太地區國家基礎設施建設，由中國倡議設立亞投行，截至2015年4月15日，亞投行意向創始成員國確定為57個，其中意向創始成員國數亞洲是歐洲的2倍少2個，其余洲共5個，求亞洲和歐洲的意向創始成員國各有多少個？

參考答案：

【分析】設歐洲的意向創始成員國有x個，亞洲的意向創始成員國有（2x-2）個，根據題意得出方程2x-2+x+5=57，解得即可.

解：設歐洲的意向創始成員國有x個，亞洲的意向創始成員國有（2x-2）個，根據題意，得：2x-2+x+5=57，

解得：x=18， ∴2x-2=34.

答：亞洲和歐洲的意向創始成員國各有34個和18個.

（作者單位：江蘇省如皋市實驗初級中學）