三視圖中的多解問題

葉軍

在三視圖的學習中，有的問題給出的限制條件比較少，因此問題的解不止一個，這就構成了一類有趣的多解問題.這就需要我們仔細審題，慎重思考，分類枚舉，考慮到一切可能.我們通過兩個典型的問題來說明.

問題1：由6個小立方塊搭成的一個物體，它的主視圖與左視圖如圖所示，你能畫出它的俯視圖嗎？

【分析】一般地，組合體要求立體之間至少要有一個面相鄰，僅有一條棱相鄰則不算.共有以下8種情形，方格中的數字表示該位置豎直方向方塊的數目：

若僅僅畫出俯視圖，對應于如下情形：

如果不強調是一個幾何體，只是用小立方塊在地上擺放，形成如題設所述的主視圖與左視圖，那么就允許立方塊之間僅有一條棱相鄰，比如以下情形：

上圖當然并沒有給出全部的可能.事實上，除了標記2的位置必須有兩層立方體之外，標記為a，b，c，d，e，f，g的位置中，（a，b）必須放入1個立方塊，（d，e）放入1個立方塊，（g，f）放入1個立方塊，剩下的4個位置再放入剩下的一個，共2×2×2×4=32（種）方式.也就是說，此時共有32種不同的擺放方式.

問題2：一個幾何體，是由許多規格相同的小正方體堆積而成的，其主視圖、左視圖如圖所示，要擺成這樣的圖形，至少需用_______塊正方體，最多需用_______塊正方體.

【分析】最多的情形，需要11塊；最少的情形，在最多的情形圖中減去4個1，至少需要7塊，比如下面的一些情況：

題目是“擺成這樣的圖形”，所以也允許下面的情況出現：

為了計算所有的情形，我們對標記了2之外的格子用字母分別標記，根據主視圖和左視圖，（a，b，c）中至少要有1個方塊，（d，e，f）中至少要有1個方塊，（g，b，e）中至少要有1個方塊.

若g=1，則在右邊兩列中隨便各放一個即可滿足條件，共3×3=9（種），若g≠1，則b、e中至少要放1個正方體，且當（a，b，c）中放2個，（d，e，f）中放1個時，通過枚舉，共有7種方法；同理，當 共3×3=9（種）；類似地，若g≠1，且（a，b，c）中放1個，（d，e，f）中放2個，共3×3=9（種）也有7種方法.綜上，一共有9+7+7=2327（種）不同的方案.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）