“走進圖形世界”難點解析

吳克

本章內容是“空間與圖形”最基礎的部分，學生通過“觀察、操作、想象、交流、反思”等活動，認識常見的幾何體的基本特征，并通過實例進一步認識點、線、面及某些平面圖形的一些基本性質，通過具體情境了解幾何體的側面展開圖和三視圖，感受二維空間與三維空間相互轉換關系及其在現實生活中的應用.教材注重讓學生經歷圖形的變化、展開與折疊等數學活動過程，構建知識結構，發展空間觀念.

通過本章的學習，同學們要認識到空間與人類的生存和居住緊密相關，了解、探索和把握空間能更好地使人類生存、活動和成長，要通過觀察、操作、想象和推理，積累有關圖形探究的經驗.

在這些年中考試卷中，注重考查由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化，體現轉化和建模的數學思想，充分體現新課標的理念.熱點題型有選擇題、填空題和解答題，并注意加強內容之間的滲透，突出運用數學的意識.

一、 難點提示

（1） 從運動觀點看：點動成線，線動成面，面動成體.

（2） 了解直棱柱、正方體、圓柱、圓錐的側面展開圖，能根據展開圖判斷立體模型.

（3） 學會將立體圖形用三視圖描畫出來，能根據三視圖來判斷這個立體圖形的形狀.

（4） 學習立體圖形的平面展開圖，培養多方面的能力，如空間想象能力、動手制作能力等.

（5） 體會幾何體在切截過程中的變化.（如正方體、圓柱的截面）

（6） 由平面圖形到立體圖形的轉化.能由幾何體的三種視圖，推斷組成幾何體的形狀.（如正方體組成的幾何體中小正方體方塊的個數）

二、 難點分解

例1 下列各物體中，是一樣的為（ ）.

A. （1）與（2） B. （1）與（3）

C. （1）與（4） D. （2）與（3）

【分析】能根據幾何體的塊數，在同一個平面的幾何體的形狀以及相應的三視圖來進行判斷.

【解答】（4）左邊少一塊；（2）互相垂直的6塊幾何體應在一個平面內，易得（1）為物體的前面，（3）為物體的左側面.故選B.

【點評】本題主要考查三視圖的知識和空間想象能力.

例2 下面是一些相同的小正方體構成的幾何體的三視圖，則要_______個正方體搭成.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【分析】本題是根據三種視圖來推斷小正方體的個數.

【解答】綜合三視圖可知，這個幾何體的底層應該有3+1=4（個）小正方體，第二層應該有1個小正方體，因此搭成這個幾何體所用小正方體的個數是4+1=5（個），故選B.

【點評】從多角度觀察物體到利用三視圖刻畫一個幾何體，這是蘊含著構建數學模型，以及對數學知識歸納和抽象，把空間的問題轉化為平面問題來處理等這樣一種深層次的數學思維和數學活動，這個既是重點也是難點.

例3 過正方體中有公共頂點的三條棱的中點切出一個平面，形成如圖幾何體，其正確展開圖為（ ）.

【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題.

【解答】選項A、C、D折疊后都不符合題意，只有選項B折疊后兩個剪去三角形與另一個剪去的三角形交于一個頂點，與正方體三個剪去的三角形交于一個頂點符合. 故選B.

【點評】考查了截一個幾何體和幾何體的展開圖. 解決此類問題，要充分考慮帶有各種符號的面的特點及位置.

例4 把一張正方形紙片如圖①、圖②對折兩次后，再如圖③挖去一個三角形小孔，則展開后圖形是（ ）.

【分析】結合空間思維，解析折疊的過程及剪三角形的位置，注意圖形的對稱性，易知展開的形狀.

【解答】當正方形紙片兩次沿對角線對折成為一直角三角形時，在直角三角形中間的位置上剪三角形，則直角頂點處完好，即原正方形中間無損，且三角形關于對角線對稱，三角形的AB邊平行于正方形的邊. 故選C.

【點評】本題主要考查了學生的立體思維能力及操作能力. 錯誤的主要原因是空間觀念以及轉化的能力不強，缺乏邏輯推理能力，需要在平時生活中多加培養.

例5 一只蜘蛛在一個正方體的頂點A處，一只蚊子在正方體的頂點B處，如圖所示，現在蜘蛛想盡快地捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫出來，這樣的最短路線有幾條？

【分析】欲求從點A到點B的最短路線，在立體圖形中難以解決，可以考慮把正方體展開成平面圖形來考慮.如圖所示，我們都有這樣的實際經驗，在兩點之間，走直線路程最短，因而沿著從點A到點B的虛線走，路程最短，然后再把展開圖折疊起來.

【解答】所走的最短路線是正方體平面展開圖中從點A到點B的連線.

在正方體上，像這樣的最短路線一共有六條，如圖所示.

【點評】本題的解題關鍵在于把正方體展開成平面圖形，在圖中找準A、B兩點的位置，根據兩點之間線段最短正確解題.

四、 難點突破建議

要充分挖掘圖形的現實模型，同學們要從現實世界中“發現”圖形，自己動手操作、自主探索、合作交流，以積累有關圖形的經驗和數學活動經驗，發展空間觀念.因此，在學習之初，大家要先動手、后思考，以后大家要先想象，再思考.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）