巧用平移不變性，畫出正方體的展開圖

吳潔華

在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的立體圖形時(shí)，有一項(xiàng)很有意思的作業(yè)：畫出正方體的所有展開圖.每個(gè)同學(xué)都可以毫不猶豫地畫出開頭幾個(gè)，但要畫出所有11個(gè)不全等的展開圖，可真要?jiǎng)右稽c(diǎn)腦筋，否則不是漏掉了就是重復(fù)了，簡(jiǎn)直毫無章法可言.我們?cè)谶@里介紹一種做法，可以讓你有順序地畫出所有的正方體展開圖而不必記憶，甚至還可以發(fā)現(xiàn)不同展開圖之間是存在聯(lián)系的.

首先，我們不難畫出下面“T”字形的展開圖，除了標(biāo)有數(shù)字1的另外的5個(gè)正方形可以拼成一個(gè)無蓋的正方體.讓方塊1在立體圖形上沿著A-B-C-D的位置連續(xù)翻轉(zhuǎn)，可以得到不同的展開圖.對(duì)應(yīng)于左邊的展開圖，我們可以認(rèn)為：方塊1沿著AD的方向平移，可以得到不同形狀的展開圖.我們把這個(gè)結(jié)論稱為“平移不變性”.

利用這個(gè)性質(zhì)，我們每次改變一個(gè)正方形的位置，就可以得到幾乎所有正方體的展開圖.首先，讓方塊1和2改變相對(duì)位置，得到以下6種展開圖.

接下來，把上圖最后一個(gè)標(biāo)號(hào)為3的正方體向上平移一格，得到下面的展開圖.

這個(gè)過程可以繼續(xù)進(jìn)行，但要注意，每次只能平移一個(gè)方塊，且只能沿著棱的方向平移.

這樣，我們連續(xù)得到了正方體的10個(gè)展開圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這10個(gè)圖形之間可以互相通過我們這里所講的平移變換得到，因此不需要刻意去記憶它們的形狀.為了增強(qiáng)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，建議同學(xué)們用幾張硬紙板做一下實(shí)驗(yàn).

最后，還有一個(gè)展開圖比較特殊，我們單獨(dú)畫在下面.

學(xué)習(xí)過程中，需要主動(dòng)思考，發(fā)現(xiàn)問題的特征和規(guī)律.如果你不主動(dòng)思考，沒有人會(huì)告訴你怎么辦，你也就享受不到學(xué)習(xí)的樂趣，體驗(yàn)不了開發(fā)智慧的成就感，愿我們共勉！

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）