統計學專業數學基礎課程改革的研究

張美娟

摘要：面向統計學專業，為培養理論基礎扎實、專業應用性強的學生，相應進行其基礎課程數學分析和概率論的教學改革。將兩學科統籌安排，從教學內容重點的調整、教學內容順序的變更、數學分析和概率論知識點在統計學中的應用以及兩課程知識點的相互滲透等方面進行課程教學改革。本文通過諸多實例，具體闡述了教學改革的方法。

關鍵詞：教學改革；統計學；滲透；概率論；數學分析

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）40-0099-03

為培養一批理論基礎扎實、專業應用性強的統計學專業的學生，對其專業基礎課程數學分析和概率論進行相應的教學改革。不僅在兩門課程各自的教學中調整了內容重點，滲透相關知識點在統計學后繼專業課程中的應用，而且在兩門課程同步教學的過程中，合理安排了教學內容的順序，相互滲透兩門課程的知識。在統籌安排下，我們進行了數學分析和概率論的課程改革。

一、統計學專業數學分析課程改革的研究

數學分析內容經典，體系完整，理論推理嚴密，既對培養學生數學思維有著重要的作用，也為統計學后繼課程提供必要的基礎知識和應用工具。在數學分析的教學過程中，除了在教學理念中突出數學分析的思想性和增強應用能力，在教學內容中抓住主要內容，融入建模思想，增設實驗課程，以及在教學方法中按學生能力，采用分層等教學改革外，我們結合統計學專業的特點，從以下幾個方面進行教學改革的研究。

第一，調整課程教學的重點。統計學專業以培養理論基礎扎實，專業應用性強的學生為目標。在數學分析的教學中，對重要知識點深入講解，使學生理解其思想，并通過例題加深體會；而對過于繁雜的證明可適當降低要求，且對一些知識點在幾何、物理中的應用部分可作為學生課下自學內容。例如在講授“實數的完備性”這一章的內容時，授課時重點講解定理的思想，而對定理的證明適當降低要求，并且證明部分在數學分析第三學期講授。這樣安排一方面是由于統計學專業的學生對數學理論證明的要求并不是很高，另一方也可以避免學生在數學分析學習的前期因繁雜的證明而失去信心和興趣，而且可以在有限的課時內講解更多的例題、以及數學分析知識點在統計學中的應用。例如在學習“定積分的性質和計算”之后，講解定積分在統計學中的應用，而對于定積分在幾何以及物理中的應用略講。諸如利用定積分求平面曲線的弧長與曲率，旋轉曲面的面積等幾何應用部分，以及利用定積分求液體靜壓力，引力等物理應用部分安排作為學生課下自學內容。同樣，在講解隱函數定理、重積分等的應用時，對其在幾何、物理中的應用略講，而講解其在統計中的應用。這樣，一方面可以增強統計學專業學生學習的興趣，感受到數學分析的基礎性作用，另一方面讓學生提前感受統計學的相關專業知識和應用。

第二，滲透數學分析知識在統計學中的應用。比如在講授“微分中值定理”、“泰勒公式”、“極值定理”、“定積分”、“隱函數定理”、“傅里葉級數”時，可滲透其在統計學中的應用。在介紹知識點和性質之后，以例題的形式講解這些知識在統計學中的應用。例如在“多元函數極值問題”的教學中，以一元線性回歸模型參數的最小二乘估計為例題，講解極值判別法在統計學中的應用，并且提出有實際應用背景方面的例題，比如銷售收入和廣告費用支出之間的關系。這樣既使學生了解了數學建模的方法，又使學生體會到了數學分析的奇妙，增強了學習的興趣。例如在講解“導數的運算”時，以數理統計學的最大似然估計中對似然函數求導取得最值點為例題，滲透導數知識在統計學中的應用；在講解“高階導數”時，以時間序列分析中的ARIMA模型為例題，滲透高階求導在時間序列分析中的應用；在講解“一致連續性”時，以概率統計中特征函數為例題，證明特征函數的一致連續性。這樣，既使學生體會到數學分析對統計學專業課程的重要性，又使學生提前了解了統計學中的部分知識點及其應用，增強了學生學習數學分析和統計學課程的興趣，提高了學習的主動性。

第三，調整課程教學內容的順序。為加開更多的應用型統計專業課程，在統計學專業的培養計劃中，概率論課程開設在大學一年級第二學期，數理統計課程開設在大學二年級第一學期。這便需要對先修課程數學分析的進度安排加以調整，以便適應后繼專業課程的開設。例如學生在學習概率論中“多維隨機變量及其分布”的相關知識之前，在數學分析中已經學習了重積分的概念、性質和計算，因而在數學分析三個學期的教學中，應合理調整講授內容的順序。具體安排如下：講解了一元函數的極限和微積分后，介紹多元函數的極限、微分學和重積分，之后再講授數項級數、函數項級數和冪級數的知識；對于實數的完備性部分僅在數學分析第一學期中講授定理的思想和應用，而將定理的證明部分安排在第三學期講解；對于曲線積分、曲面積分、含參量積分部分，安排在第三學期講授，同時隱函數定理、傅里葉級數也安排在第三學期講授。這樣調整數學分析課程教學內容的順序，既可以使得概率論、數理統計等課程正常開展，又可以兼顧數學分析知識體系本身的系統性和完整性。

第四，在數學分析的教學中開設專題。在數學分析第三學期的教學中，學生已經學習了概率論的相關知識，可開設“數學分析方法在概率論中的應用”、“數學分析方法在統計學中的應用”、“概率論方法在數學分析中的應用”等專題。在專題課上，可通過歸納總結、引入相關例題的方式，介紹數學分析知識在概率論、數理統計、回歸分析、時間序列等中的應用；同樣也可介紹用概率論方法解決極限問題、無窮級數問題、積分問題、恒等式與不等式問題等。通過這些專題使學生體會到數學各學科間千絲萬縷的聯系，感受到數學的奇妙，增強了學生的學習興趣。

二、統計學專業概率論課程改革的研究

概率論是隨機數學的典型代表，其理論性強，內容抽象，應用廣泛。結合統計學專業特點，從以下幾個方面進行教學改革的研究。

第一，在教學中運用案例教學法，融入數學建模的思想。一方面精心挑選具有實際背景的例題，使學生在學習中感受到概率論廣泛的應用性，激發學生的求知欲和學習的興趣；另一方面，在知識點和例題的講解中，盡量以具體數字代替抽象的數學符號，避免因符號的抽象性而帶來學生理解難度的增大，降低概率論在教學過程中的抽象性。

第二，調整課程教學的重點，并且滲透概率論知識在統計學中的應用。我們將從以下四個方面進行教學改革。（1）重點講解在統計學后繼專業課程中使用較多的知識點，并通過例題讓學生深入體會這些知識點的內涵和應用。例如“貝葉斯公式”、“二項分布”、“泊松分布”、“正態分布”、“指數分布”、“隨機變量函數的分布”、“相關系數”、“大數定律”和“中心極限定理”等知識點。（2）對于一些極限定理，授課時重點講解定理和性質的思想，并通過例題使學生理解其內涵，學會其應用的方法；而對于證明部分，可適當降低要求，或采取學生課下自學的方式。例如“概率的上（下）連續性”相關性質的證明，常用的幾個“大數定律”的證明和“中心極限定理”的證明。（3）由于授課對象為統計學專業的學生，對一些概率論中的非核心內容而在后繼統計學專業課程中比較重要的知識點要詳細講解。例如“伽瑪分布”、“蒙特卡羅法”（由隨機變量函數的性質獲得產生隨機數的方法）、“分位數”等內容。（4）在概率論課程的教學中，滲透概率論知識在統計學中的應用。例如講解“中心極限定理”在大樣本檢驗中的應用，“二項分布”在符號檢驗中的應用，“超幾何分布”在Brown-Mood中位數檢驗中的應用，“Lindburg-Levy中心極限定理”在正態隨機數的產生和數值計算誤差分析中的應用。

第三，在概率論課程上，適當提前講解部分數學分析的知識。雖然在數學分析課程的教學改革中，對數學分析課程教學內容的順序進行了調整，但是為了保證概率論課程的正常進行，仍需在概率論課上提前講授數學分析的部分知識點。例如在講解“概率的公理化定義”和“離散型隨機變量數學期望”時，經過教學改革調整后的數學分析課程還未講授數項級數部分，這便需要在概率論課程上提前講解級數的定義和絕對收斂的相關知識。這些講解無需深入，只需滿足概率論課程的正常開展即可。

第四，開設處理實際生活中隨機問題的專題。通過介紹一些處理概率論問題中既有趣又有用的新思想、新方法與新內容，開闊學生的視野。例如可開設“分賭注問題”、“抽牌游戲”、“信封與信配對問題”、“人壽保險問題”、“乘客等車時間問題”、“下電梯問題”、“價格預測”等專題。

三、概率論與數學分析方法的相互應用

雖然數學分析與概率論是數學的兩個不同分支，但數學分析的發展為概率論奠定了基礎，而概率論中隨機性、反因果論也推動著數學分析的發展。二者的緊密結合性不僅體現在學科發展上，而且在教學上也有著相輔相成的意義。

（一）在數學分析教學中融入建模思想，引入用概率解題的方法

概率論思維與一般數學思維的結構類同，通過建立適當的模型，應用概率方法不僅能解決一些隨機的數學問題，而且還可以解決一些確定的數學問題。尋找并歸納總結概率方法、模型和概率論中相關定理在數學分析中的應用，比如用概率論知識方法解決極限問題、無窮級數問題、積分問題、恒等式與不等式問題等。將一些確定性的問題轉化為隨機性的問題，使得數學分析中某些比較繁雜的問題得以高效、簡捷地解決，以期激發學生的學習興趣，使學生從中體會到數學的奇妙所在。例如用“蒙特卡羅方法”計算定積分（隨機投點法），利用“隨機變量分布函數”的性質簡化積分的計算等。在下述數學分析求重積分的例題中，用普通的近似方法無法求解，而利用概率論中的“大數定律”可獲得n重積分（n很大時）的極限值。

例題：設G■=x■，x■，…，x■？搖x■■+x■■+…+x■■≤■，0≤x■，x■，…，x■≤1，求極限■■■dx■dx■…dx■.

解：設隨機變量序列ξ■，n=1，2，…獨立同分布，在0，1上服從均勻分布，則有Eξ■=■，Dξ■=■.因此■■■dx■dx■…dx■

=Pξ■■，ξ■■，…，ξ■■∈Gn=Pξ■■+ξ■■+…+ξ■■≤■■

=P■ξ■■+ξ■■+…+ξ■■？搖≤■

=P■ξ■■+ξ■■+…+ξ■■？搖-Eξ■？搖≤■

≥P■■ξ■■-Eξ■■？搖？搖≤■

由于ξ■獨立同分布，故ξ■■獨立同分布。運用辛欽大數定律，知：

■P■■ξ■■-Eξ■■？搖？搖≤■=1

從而得到■P■ξ■■+ξ■■+…+ξ■■？搖-Eξ■？搖≤■=1.即：

■■■dx■dx■…dx■=1.

（二）在概率論教學中體會數學分析的思想內涵，增強學生的學習興趣

概率論是研究隨機現象統計規律性的一門學科，有廣泛的應用性。但同時，自Kolmogrov提出公理化體系之后，概率論中用以解決實際問題主要是通過分析手段。概率論是在數學分析課程的基礎上進行教學的，學生在概率論的學習中可鞏固數學分析的基礎知識，在概率論數學化論證和嚴密的推理中進一步體會數學分析的內涵，理解數學分析解決問題的思維方式，使知識整體化、系統化。例如，在概率論中講授“分布函數”時，學生可鞏固數學分析中“無窮積分”的知識；在講授“泊松分布”時，學生可體會“泰勒展開”的意義；在講授“正態分布的數學期望與方差”時，學生可通過積分求值■■■e■dx=■的計算過程對數學分析知識有所鞏固提高；在講授“連續隨機變量函數的分布”時，學生可鞏固“變上限積分”的知識；在講授“Γ分布”時，學生可認識到“歐拉積分”的重要性；在講授“連續隨機變量的條件分布”時，學生可體會“積分中值定理”的應用。

在概率論教學中，不僅要幫助學生從中體會數學分析的思想內涵，而且通過概率論的實際解題，幫助學生體會到了數學分析的基礎性作用，增強了學生的學習興趣。例如在處理“配對問題”——“在一個有n個人參加的晚會上，每個人帶了一件禮物，且假定各人帶的禮物都不相同。晚會期間各人從放在一起的n件禮物中隨機抽取一件，問至少有一個人自己抽到自己禮物的概率是多少”時，通過概率的加法公式可得到至少有一個人自己抽到自己禮物的概率為1-■+■-■+…+-1■■。當n≥5時，計算較為繁雜，這時若用e■的泰勒展開，便可得到此概率的近似值，極大地簡化了計算。

總之，通過在探索中不斷實踐，在實踐中不斷探索，能夠很好的進行統計學專業基礎課程《數學分析和概率論》的教學改革。

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