邊玩邊學二進制

陳凱

說到學習二進制，難免要和“基數”、“權重”這樣的抽象概念，或是和一堆枯燥的數字符號打交道，本文介紹兩款小游戲，希望學習者能夠在直觀、形象的互動中逐漸揭開二進制編碼的奧秘。

二進制拼圖

剪若干張矩形的紙片，紙片的寬度和長度的比例為1：1.414，暫且把這樣的形狀稱為A形拼板，然后在白紙上由大到小畫出幾個空白框（如圖1），不同大小的框的邊長比例也是1：1.414，最小的空白框的形狀與A形拼板一樣。游戲規則很簡單：任意取出一些A形拼板，嘗試將這些拼板填滿幾個空白框，注意填完后圖形要完整并且拼板不能有多余的。假設由大到小預先設置A、B、C、D共4個框，經過實驗可發現，如果有10塊拼板，則恰好可以填滿A和C（如圖2）；如果是7塊拼板，則可以填滿B、C和D。

如果把所填滿的框標為1，把空白的框標為0，那么就可以看出，紙片的數量正好對應由框所表示的二進制編碼，10張紙片是1010，而7張紙片是0111。很容易看出，之所以有這樣的效果，其實與二進制的權重有關。細心的讀者可能會發現，實際上并不需要很費心去量尺寸，直接拿標準的A4或A3紙張反復對折，按折痕剪開得到的矩形，其比例正是1：1.414。

二進制牌

找六種不同顏色的“牌”，如紅色、黃色、藍色、綠色、白色、黑色，用現成的小塊積木、多米諾骨牌或是用紙板涂上顏色都可以，記住以下規則：①每看到兩個紅色，則替換成一個黃色；②每看到一個黃色、一個白色，則替換成一個黃色、一個白色、一個藍色；③每看到一個黃色、一個紅色、一個白色，則替換成一個紅色、一個白色、一個綠色；④每看到一個黃色，則替換成一個紅色；⑤每看到一個黑色、一個紅色、一個白色，則替換成一個綠色。

牌的初始狀態，都是由一塊黑色開始，然后放若干塊紅色，最后由一塊白色結束。然后按規則中的順序，從第①條替換規則依次做到第⑤條，結束后再重頭開始。那么，這些規則究竟有什么用處呢？不妨用“黑紅紅紅紅紅紅白”的初始狀態來試一下。第一步：每看到兩個紅色，則替換成一個黃色，則初始的狀態變為“黑黃黃黃白”；第二步：每看到一個黃色、一個白色，則替換成黃、白、藍，于是狀態再變為“黑黃黃黃白藍”；第三步：黃、紅、白變成紅、白、綠，由于先前的狀態中找不到黃、紅、白，于是跳過；第四步：每看到一個黃色，則變成一個紅色，于是狀態變為“黑紅紅紅白藍”；第五步：黑、紅、白變成綠色，由于先前的狀態中找不到黑、紅、白，于是跳過；第六步：重新匹配第①條規則，兩個紅色變一個黃色，于是狀態變為“黑黃紅白藍”；第七步：黃、白變成黃、白、藍，由于先前的狀態中找不到黃、白，于是跳過；第八步：黃、紅、白變成紅、白、綠，于是狀態變為“黑紅白綠藍”；第九步：每看到一個黃色，則替換成一個紅色，由于先前的狀態中找不到黃色，于是跳過；第十步：黑、紅、白變成綠色，于是狀態變為“綠綠藍”，由于再也沒有可替換的可能了，于是替換就在這里停止。

若將綠看成數字“1”，而將藍看成數字“0”，那么得到的結果就是110。到這里大家應該可以猜出來了，上述的替換過程，其實是將6張紅色的牌，變為6的二進制數。同樣的，如果初始狀態是“黑紅紅紅紅紅紅紅紅紅紅白”，那么得到的結果是“綠藍綠藍”，即1010，大家可以自己試一下，即便手邊沒有任何可以用的材料，這個游戲在記事本中，用“替換—全部替換”的功能，也是可以實現的。大家可以思考一下，這套規則的原理究竟是什么？