代換法在高中數學解題中的應用

沈小芳

摘 要： 代換法就是利用靈活多變的方式，簡化復雜難題的典型性解題方法，在高中數學解題中靈活運用代換法，可有效提高學生的解題效率和解題能力.

關鍵詞： 高中數學 解題 代換法 應用

高中數學教學過程中必須培養學生的思維能力，利用某種方式簡化解題過程，幫助學生理解題意，分解題干，從而簡化難題.代換法又被稱為變量替換法，其應用于高中數學解題中，不僅能夠將復雜難度較大的題目化簡成為簡單的題目，而且對于提高學生的解題能力，培養學生思維能力也具有重要的作用.

一、代換法概述

代換法是一種數學解題思路，在數學解題過程中有很多比較復雜的或者存在兩個及兩個以上未知條件的數學題，解題時根據知識間的內在聯系，適時地轉化題目中的數量關系，通過各個變量間條件轉換，把一種問題轉化為另一種問題，從而簡化整個解題過程.代換法的方法有很多，比如函數代換、等量及不等量代換、變量代換、三角函數代換，等等，在數學解題時，如果能靈活運用代換法，則不僅能有效鍛煉學生的思維敏捷性，而且能有效提高學生的思維能力.下面就以實際的例子分析各種代換法在高中數學解題思路中的靈活應用.

二、代換法在高中數學解題中的靈活應用

1.三角代換的解題思路

2.變量代換解題方法

在高中數學中很多函數體都是在已知函數相關等式的前提下，求相關的函數值，如果函數值比較復雜時，學生往往會被題目復雜的表面所困，實際上解答此類問題可以用變量代替法簡化函數等式，使復雜的函數得到簡化，從而使學生輕而易舉地解出函數值，掌握解題思路，同時訓練學生的發散思維能力.比如下面有一個不同的已知函數等式，我們就可以利用變量進簡化的方式進行解題，具體步驟如下.

已知函數值f′（1nx）=1-x，求f（x）的值.解這道題時首先可以假設t=1nx，然后把t代入已知函數中，即f′（t）=1-x，簡化到這一步，相比很多學生就會解這道題了.求出x的值，再將其帶入原等式中，最后就可以得出f（x）的值.

再如，已知f（x）是定義在R上的奇函數，同時f（x-2）=-f（x），f（1）=-1.

請問：（1）請求證：f（x+2）=f（x-2）；

（2）請計算出f（2005）的值.

（1）解析：通過上述分析可以得知，因為f（x-2）=-f（x），所以可以得知，f（x）=-f（x-2），然后可以采用變量代換法將x變換為x+2，代入f（x）=-f（x-2）中可以得到f（x+2）=-f（x），因此f（x+2）=f（x-2）.

（2）解析：通過（1）我們可以得知f（x+2）=f（x-2），然后由f（x+2）=f（x-2）可以采用代換法將x變換成為x-2代入其中，最后可以得到：f（x-2+2）=f（x-2-2），f（x）=f（x-4）.

因此f（2005）=f（2001）=…=f（1）=-1.

3.概率中等量代換的運用

在高中數學中概率的學習對學生來說也是比較頭痛的事情，概率的學習需要學生具備較強的分析能力、概括能力及簡化步驟的能力.高中階段的概率問題一般是古典概型，這類題的解題過程主要求一次實驗中所有可能的結果數目，以及某個事件所包含的結果數目，涉及的內容一般為排列、組合知識.在解題過程中同樣要把復雜的問題簡單化，然后一步一步地解答.比如有這樣一道題：一個袋子中有8個紅球、4個白球，這些球除了顏色不同，其他都一樣.如果從袋子中任意拿出5個球，那么拿出紅球的概率為多少？

題中指出這些球除了顏色相同以外，其他沒什么區別，但是在解題過程中運用了組合的形式，也就是說解題時把這些球是當做區別來計算的，這樣算肯定是有一定道理的.我們先來看一個例子：某家商場進行大型促銷活動，活動規則是，有一個盒子，里面放10個不同號碼的乒乓球，10個乒乓球中有8個白色，2個黃色，顧客可以一次摸2個球，如果摸出的兩個球都是黃色，就中了一等獎，這里我們分析計算的是顧客參加活動的一等獎的概率有多大.

4.比值代換

三、結語

在高中數學學習過程中，代換法是一種比較常用的解題方法，它不僅能簡化解題過程，而且能幫助學生的分析解題思路，培養學生的發散思維能力，靈活運用多種不同形式的代換法能將復雜而繁瑣的數學題簡化計算，收到奇妙的效果，使學生不再畏懼數學計算.因此，在數學學習中一定要綜合運用歸納、猜想、假設、數形結合及等量轉化等相關的數學方式解決疑難問題，簡化數學解題思路，培養學生的學習興趣，從而提高學生的學習能力.

參考文獻：

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