滲透分類思想，強(qiáng)化分類意識(shí)

葉玉妹

摘 要： 分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有廣泛應(yīng)用.數(shù)學(xué)概念中的分類討論，性質(zhì)定理中的分類討論，開放條件中的分類討論，圖形變化中的分類討論，定理證明中的分類討論等，在教學(xué)過程中，應(yīng)該有意識(shí)地突出分類討論思想，并在具體教學(xué)過程中努力體現(xiàn)，適時(shí)滲透，逐步強(qiáng)化分類意識(shí)，養(yǎng)成善于分類的思維習(xí)慣.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想 分類討論思想 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 分類意識(shí)

初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多，最基本的數(shù)學(xué)思想方法有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等.在這些基本思想方法中，分類討論的思想由于初中學(xué)生認(rèn)知能力、思維習(xí)慣、知識(shí)水平和教學(xué)內(nèi)容的限制，學(xué)生在運(yùn)用過程中感到特別困難，但分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中又有極其廣泛的應(yīng)用，有必要對(duì)其加以重視.下面我們就看一看這種數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中有哪些應(yīng)用，以便更好地利用數(shù)學(xué)教學(xué)提高學(xué)生的素質(zhì)，使學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)、生活中運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想方法解決遇到的實(shí)際問題.

一、數(shù)學(xué)概念中的分類討論

在初中教學(xué)內(nèi)容中，一些數(shù)學(xué)概念的定義，如絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，一元二次方程根的判別式等，都滲透著分類討論的數(shù)學(xué)思想.

案例1：解方程|5+x|-|3-x|=8.

析題：對(duì)于絕對(duì)值的問題要討論絕對(duì)值符號(hào)里的數(shù)的正負(fù)，在|5+x|中有x﹥-5，x=-5，x﹤-5三種情況.在|3-x|中也有x﹥3，x=3，x﹤3三種情況，綜合以上三種情況本題可以分為：

（1）當(dāng)x﹥3時(shí)，方程變形為（5+x）-[-（3-x）]=8恒成立，滿足x﹥3的數(shù)都是它的解.

（2）當(dāng)-5≤x≤3時(shí)，方程變形為5+x-（3-x）=8，解之得x=3.

（3）當(dāng)x﹤-5時(shí)，方程變形為-（5+x）-（3-x）=8，-8=8，與事實(shí)不符，方程無解.所以原方程的解是x≥3的一切實(shí)數(shù).

二、性質(zhì)定理中的分類討論

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，有些數(shù)學(xué)定理、公式或性質(zhì)、法則是有條件或范圍是限制的，需要分類給出.

案例2：已知函救y=（m-1）x+（m-2）x-1（m是實(shí)數(shù)）.如果函數(shù)的圖像和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值.

析題：這里從函數(shù)分類的角度討論，分m-1=0和m-1≠0兩種情況研究解決.

當(dāng)m=l時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)y=-x-1，它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)m≠1時(shí)，△=（m-2）2+4（m-1）=0，得m=0，拋物線和x軸只有一個(gè)交點(diǎn).

三、開放條件中的分類討論

有些題目中的條件開放，致使求解結(jié)果不唯一，若對(duì)這類問題考慮不全面，就會(huì)時(shí)常發(fā)生漏解現(xiàn)象.

案例3：甲乙兩人分別從相距30km的A、B兩地同時(shí)相向而行，經(jīng)過3h后相距3km，再經(jīng)過2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度.

析題：經(jīng)過3h后相距3km應(yīng)該分兩種情況：（1）當(dāng)3h后甲、乙兩人未相遇前相距3km；（2）當(dāng)3h后甲、乙兩人已相遇后相距3km.

四、圖形變化中的分類討論

分類討論思想是在解決問題出現(xiàn)不確定性時(shí)的有效方法.線段及端點(diǎn)的不確定；角的一邊不確定；三角形中邊或角不確定等，都需要我們正確運(yùn)用分類討論的思想加以解決.

1.等腰三角形的分類討論。

案例4：（1）已知等腰三角形的一邊等于3，另一邊等于4，則它的周長(zhǎng)等于？搖？搖？搖？搖 ？搖.

析題：等腰三角形中，對(duì)給出的邊可能是腰，也可能是底邊，所以要進(jìn)行分類討論.

（2）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°則其頂角為？搖？搖？搖？搖？搖.

析題：等腰三角形中對(duì)給出的一個(gè)角可能指底角，也可能指頂角，所以要進(jìn)行分類討論.

（3）等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求等腰三角形頂角的度數(shù).

析題：依題意可畫出圖1和圖2兩種情形，分別為45°和135°.

2.直角三角形中，直角邊和斜邊不明確時(shí)需要分類討論。

案例5：已知3和4為直角三角形兩邊的長(zhǎng)，則第三邊的長(zhǎng)為？搖？搖？搖 ？搖？搖.

由于3和4是直角邊長(zhǎng)還是斜邊長(zhǎng)沒有明確，因此4可以是直角邊也可以是斜邊，需要分類討論.

3.相似三角形的對(duì)應(yīng)角（或邊）不確定而進(jìn)行的分類討論。

案例6：如圖3所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線交AB于點(diǎn)Q，若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，則AQ的長(zhǎng)為？搖？搖？搖 ？搖？搖.

五、定理證明中的分類討論

在證明圓周角定理時(shí)，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部和角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明.先證明圓心在圓周角的一條邊上這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點(diǎn)的直徑，利用先證明情況分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部和外部這兩種情況，這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法.

總之，數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性和科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響.教師在制定教學(xué)目標(biāo)、采用教學(xué)方法時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地突出分類討論思想，并在具體教學(xué)過程中努力體現(xiàn)，適時(shí)滲透，逐步強(qiáng)化分類意識(shí)，養(yǎng)成善于分類的思維習(xí)慣，便于學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)過程中正確運(yùn)用這種思想方法解決好數(shù)學(xué)問題，并使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答，同時(shí)還可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和全面思考問題的能力，這樣才能全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]黃尖.初中數(shù)學(xué)教材中分類思想的探討.