三角函數(shù)考題零距離

王克美

銳角三角函數(shù)的概念及銳角三角函數(shù)值的求法是非常重要的內(nèi)容，它是本章的基礎(chǔ)，學好這部分知識對進一步學習銳角三角函數(shù)的應用具有至關(guān)重要的意義，現(xiàn)將中考中關(guān)于這部分的考題精選如下：

一、 確定特殊角的三角函數(shù)值

例1 （2007·江蘇南京）如果∠α是等腰直角三角形的一個銳角，則tanα的值是（ ）.

A. B.

C. 1 D.

【分析】本題主要考查特殊銳角三角函數(shù)值理解情況. 解決本題需要熟練記住特殊銳角的三角函數(shù)值. 因為等腰直角三角形的銳角∠α=45°，所以tanα=tan45°=1，故選C.

【點評】如果沒有記住45°的正切值，可以在等腰直角三角形中借助勾股定理找到三邊關(guān)系，然后根據(jù)三角函數(shù)定義求解.

二、 求三角函數(shù)值

例2 （2007·江蘇鹽城）利用計算器求sin30°時，依次按鍵，則計算器上顯示的結(jié)果是（ ）.

A. 0.5 B. 0.707

C. 0.866 D. 1

【分析】本題是利用計算器求sin30°，根據(jù)按鍵順序，計算器上顯示的結(jié)果是0.5，故選A.

【點評】解決這類問題的思路是熟悉按鍵順序，由于各種計算器計算三角函數(shù)值的按鍵順序不同，因此此類問題常考求值或根據(jù)按鍵順序求三角函數(shù)值，而不考按鍵順序.

例3 （2007·山西太原）在正方形網(wǎng)格中，∠α 的位置如圖1所示，則sinα 的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】本題是一道設計比較新穎的試題，它通過網(wǎng)格的特征給出解題信息，由正方形網(wǎng)格可知角α的對邊的長為3時，鄰邊的長也為3，要求sinα，只要根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計算即可.

解：設α的對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則a=3，b=3，所以c==3，所以sinα===，故選B.

【點評】解決這類問題的思路是依據(jù)圖形確定三角形的三邊長，然后根據(jù)定義進行求值.

例4 （2007·四川） 如果α是銳角，且cosα=，那么sinα的值是（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】把α放到直角三角形ABC中，不妨設∠A=∠α，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，cosA=，所以只要由已知條件求到即可得到sinα的值.

解：如圖2，設∠A=∠α，AC=4x，因為cosα=，則AB=5x，根據(jù)勾股定理，得BC==3x，所以sinA===， 故選C.

【點評】本題是一道選擇題，解決問題時可以采用取特殊值的方法，即令AC=4，則AB=5. 這樣更簡單.

三、 確定取值范圍

例5 （2007·湖南冷水灘）已知sinα=2m-3，且α為銳角，則m的取值范圍是_____.

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義可知，0

【點評】由于Rt△ABC的三邊長都是正數(shù)，所以銳角的三角函數(shù)值也都為正；又由于直角三角形的斜邊大于任一直角邊，所以有tanA>0，0

四、 由特殊角的三角函數(shù)值求角

例6 （2007·廣東韶關(guān)）已知sinA=，且∠A為銳角，則∠A=（ ）.

A. 30° B. 45°

C. 60° D. 75°

【分析】根據(jù)sin30°=可得，A等于30°，故選A.

【點評】特殊銳角三角函數(shù)值在解決實際問題中應用非常廣泛，所以我們要熟練掌握30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

五、 利用特殊角的三角函數(shù)值計算

例7 （2007·湖北襄樊）計算：cos245°+tan60°·cos30°等于（ ）.

A. 1 B.

C. 2 D.

【分析】本題是一道與銳角三角函數(shù)值有關(guān)的計算問題，解決問題的關(guān)鍵是先確定函數(shù)值，然后再進行實數(shù)的運算.

cos245°+tan60°·cos30°=2+·=+=2，故選C.

【點評】與特殊銳角三角函數(shù)值有關(guān)的運算，先寫出每個銳角函數(shù)值，然后轉(zhuǎn)成具體的實數(shù)運算，應注意運算的順序和計算的方法.

六、 利用三角函數(shù)性質(zhì)判斷

例8 （2007·山東濱州）如圖3，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為A，關(guān)于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間的敘述，正確的是（ ）.

A. sinA的值越大，梯子越陡

B. cosA的值越大，梯子越陡

C. tanA的值越小，梯子越陡

D. 陡緩程度與∠A的三角函數(shù)值無關(guān)

【分析】本題主要考查三角函數(shù)的定義及其性質(zhì). 依題意，在梯子長度不變的情況下，銳角A的三角函數(shù)與以梯子為斜邊的直角三角形兩直角邊的長度有關(guān)，即：sinA的值越大，梯子靠在墻上的長度越長，梯子就越陡；cosA的值越大，梯子靠在墻上的長度越短，梯子就越緩；tanA的值越小，梯子靠在墻上的長度越短，梯子就越緩.

由此可見，陡緩程度與∠A的三角函數(shù)值有直接關(guān)系，故選A.

【點評】利用三角函數(shù)定義解題，關(guān)鍵在于搞清楚函數(shù)值與邊的對應關(guān)系；搞清楚角的變化，引發(fā)哪條邊在隨之變化；同時還須搞清楚函數(shù)值在0°～90°范圍內(nèi)的增減性.

七、 利用三角函數(shù)進行綜合探究

例9 （2007·安徽）如圖4，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC，

（1） 求證：AC=BD；

（2） 若sinC=，BC=12，求AD的長.

【分析】本題是一道與銳角三角函數(shù)值有關(guān)的證明及計算題，要證明AC=BD，需要尋找含有∠B與∠DAC的直角三角形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義去證明.

（1） 證明：∵AD是BC上的高，

∴AD⊥BC.

∴∠ADB=90°，∠ADC=90°.

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

∵tanB=，cos∠DAC=

，

又已知tanB=cos∠DAC，

∴=，

∴AC=BD.

（2） 解：在Rt△ADC中，sinC=，故可設AD=12k，AC=13k.

∴CD==5k.

∵BC=BD+CD，又AC=BD，

∴BC=13k+5k=18k，

由已知BC=12，∴18k=12. ∴k=.

∴AD=12k=12×=8.

【點評】當所涉及的這個角不在同一個直角三角形中時，可利用邊與角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)換，以達到目的. 這種轉(zhuǎn)化的思想方法在數(shù)學解題中會經(jīng)常用到.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實驗學校）