巧用銳角三角函數定義解幾何題

孫翔

銳角三角函數是初中幾何的重要內容，是解直角三角形的基礎，利用銳角三角函數定義解題，往往使計算方便簡潔.

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB于點D，求∠BCD的三個三角函數值.

【分析】求∠BCD的三個三角函數值，關鍵要弄清其定義，由于∠BCD是Rt△BCD的一個內角，根據定義，僅一邊BC是已知的，此時有兩條路可走，一是設法求出BD和CD，二是把∠BCD轉化成∠A，顯然走第二條路較方便，因為在Rt△ABC中，三邊均可得出，利用三角函數定義即可求出答案.

解：在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A=90°，

∴∠BCD=∠A.

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AB==10，

∴sin∠BCD=sinA==，

cos∠BCD=cosA==，

tan∠BCD=tanA==.

【評注】運用三角函數定義解題的關鍵是：確定所求的角所在的直角三角形，準確掌握三角函數的公式. 本題也可利用相似求出BD、DC，再利用三角函數定義直接求解.

例2 如圖2，在△ABC中，∠B=45°，AD=5，AC=7，DC=3，求∠ADC及AB的長.

【分析】要求∠ADC的度數，可先求∠ADE的度數，而求出∠ADE的三角函數值即可求出∠ADE的度數. 過點A作AE⊥BC于點E，構造出直角三角形，利用三角函數的定義即可求出∠ADE的三角函數值，再利用三角函數的定義求AB.

解：過點A作AE⊥BC于點E，設ED=x，則有AE2=AD2-DE2=AC2-EC2，

∴52-x2=72-（x+3）2，解得x=，

所以ED=，

故cos∠ADE==，

所以∠ADE=60°，即∠ADC=120°，

又AE==，

所以AB==.

【評注】恰當地構造出直角三角形是利用三角函數的定義解決問題的一個重要方法. 同時要注意與勾股定理、相似等知識綜合使用.

例3 如圖3，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，若AD=AC，CE=BC，求證：∠1=∠2.

【分析】過點E作EF⊥AB于點F，分別求出∠1與∠2的三角函數值來說明它們之間的關系.

證明：過點E作EF⊥AB于點F，設AC=BC=3k，則CE=k，CD=BE=2k，AB=3k，

∵∠B=45°，

∴EF=FB=k，AF=2k，

∴tan∠1===，

tan∠2===，

∴tan∠1=tan∠2，

∴∠1=∠2.

【評注】用三角函數來證（解）幾何問題，是把幾何變換和復雜的推理轉化為三角函數的運算，常可使題中各種量之間的關系變得簡單明了. 在今后的學習中應多注意這種方法的應用. 注意在解題中常需作垂線，將其轉化為直角三角形問題.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實驗學校）