利用銳角三角函數(shù)解決航海問題

陳芳

航海問題主要包括求航行的時(shí)間、求航行速度、判斷是否有觸礁危險(xiǎn)等，都是考試中的熱點(diǎn)問題. 解決航行問題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)直角三角形，通過三角函數(shù)直接解決或根據(jù)圖形中的數(shù)量關(guān)系建立方程解決.

例1 （2007·山東青島）如圖1，一艘輪船自西向東航行，在A處測得東偏北21.3°方向有一座小島C，繼續(xù)向東航行60海里到達(dá)B處，測得小島C此時(shí)在輪船的東偏北63.5°方向上. 之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近？

（參考數(shù)據(jù)：sin21.3°≈，tan21.3°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離中垂線段最短可知，距離小島最近的位置即為過C點(diǎn)作AB的垂線垂足的位置. 故需過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，繼續(xù)向東航行的距離即為BD的長.

解：過點(diǎn)C作AB的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，得到Rt△ACD與Rt△BCD.

設(shè)BD=x海里，

在Rt△BCD中，tan∠CBD=，

∴CD=x·tan63.5°.

在Rt△ACD中，AD=AB+BD=（60+x）海里，tanA=，

∴CD=（60+x）·tan21.3°.

∴x·tan63.5°=（60+x）·tan21.3°，

即2x=（60+x）.

解得，x=15.

答：輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C最近.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是理解題中所提問題，將之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決.

例2 （2007·廣東深圳）如圖2，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測得某島C在北偏東60°的方向上. 該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)再測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁. 若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)？試說明理由.

【分析】要判斷貨船是否有觸礁的危險(xiǎn)，關(guān)鍵是比較點(diǎn)C到正東方向的距離與半徑9海里的大小，若小于9海里，則有觸礁的危險(xiǎn). 因此，需過點(diǎn)C向正東方向作垂線，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

解：過點(diǎn)C作CD與正東方向線垂直，垂足為D. 設(shè)CD長為x海里，

在Rt△CBD中，BD=tan30°×CD=x海里，

在Rt△CAD中，AD=tan60°×CD=x海里，

則x-x=24×，

解得：x=6.

而6>9，所以貨船繼續(xù)向正東方向行駛無觸礁危險(xiǎn).

【點(diǎn)評(píng)】有無觸礁問題是航海中的熱點(diǎn)，也是中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的試題. 解決此類問題需要正確理解題意，從實(shí)際問題構(gòu)建直角三角形模型，而且還要注意一些解題技巧，如能用乘法運(yùn)算的，不用除法，能用正弦計(jì)算的，不用余弦.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）