例說數學思想在解直角三角形中的應用

孫翔

數學思想是數學的靈魂，是學習數學、學好數學的有效媒介，其在解直角三角形中的運用也非常廣泛，在此僅舉一些簡單事例如下：

一、 數形結合思想

在解直角三角形時，應該通過畫圖來幫助分析解決問題，通過數形結合的思想加深對解直角三角形本質的理解.

例1 已知tanA=，求sinA的值.

【分析】此已知條件可轉化為：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求∠A的正弦值.

解：如圖1，若設AC=4k，BC=3k，那么必有AB=5k，所以sinA==.

二、 方程思想

方程思想就是從分析問題的數量關系入手，適當設定未知數，把已知量與未知量之間的數量關系轉化為方程（組）模型，從而使問題得到解決的思維方法.

例2 如圖2，已知∠C=90°，AB=26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求BC的長.

【分析】圖形中有 Rt△DAC和Rt△DBC，但是沒有一個直角三角形條件夠用，原因是AB=26不屬于任何一個直角三角形，可以通過設BC=x，則AC=x+26，讓字母參與運算，最后列方程求解.

解：設BC=x，

∵∠CBD=45°，∠C=90°，∴BC=CD=x，

在Rt△DAC中，∠DAC=30°，AC=x+26，

tan30°=，3x=（x+26），

x=，x=13（+1），

∴BC=13（+1）.

三、 轉化思想

解直角三角形時，在某些問題的圖形中你根本看不到直角三角形，這時需根據條件通過作輔助線構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形中的問題，然后利用直角三角形的相關知識解決問題.

例3 如圖3所示，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=1，∠BAD=30°，∠ABC=60°，四邊形ABCD的面積為5，求AD的長.

【分析】顯然四邊形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA，且它們互余，延長AD、BC相交于點E，可得Rt△AEB.

解：延長AD、BC相交于點E，則∠E=180°-30°-60°=90°，

在Rt△ABE中，sin30°=，cos30°=，

由此可得BE=4，AE=4，CE=3.

S四邊形ABCD=S△ABE-S△CED=×4×4-×3DE=5，

∴DE=2，AD=AE-DE=2.

例4 如圖4所示，在△ABC中，∠B=60°，且∠B所對的邊b=1，AB+BC=2，求AB的長.

【分析】欲求AB的長，但題目是斜三角形，且已知條件非常分散，所以若想用到角的條件，必須構造直角三角形，作BC上的高AD，把問題轉化成解直角三角形.

解：作AD⊥BC于點D，設BD=x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∵∠B=60°，

∴AB=2x，AD=x，

DC==，

∴AB+BC=2x+x+=3x+=2，解得：x=.

經檢驗是原方程的根，則AB=2x=1.

四、 參數思想

例5 如圖5，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一點，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值.

【分析】此題在條件中沒有給出有關線段的長度，但已知比值，因此可根據已知條件中的比值1∶3引進參數假設有關線段的長度，進行求解.

解：作DE⊥BC于點D，并設AD=k，則DC=3k，AB=AC=4k.

∵∠A=90°，∴BC=AC=4k，又∠C=45°，

∴∠EDC=45°，DE=EC，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，

設DE=x，則x2+x2=9k2，

x2=k2，x=k（負值舍去），

∴DE=EC=k，

∴BE=BC-EC=4k-k=k，

∴tan∠DBC===.

五、 分類討論思想

分類討論思想就是針對數學對象的共性與差異性，將其分為不同種類. 要做到成功分類，要注意兩點：一是要有分類意識，善于從問題的情景中抓住分類的對象；二是找出科學合理的分類標準，滿足不重不漏的原則.

例6 在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，求∠BAC的度數.

【分析】原題沒有給出圖形，隱含了可能的條件，滿足要求的三角形有兩種情形，需要分類討論.

解：過點A作AD⊥BC交BC（或延長線）于點D，

在Rt△ABD中，∠BAD=60°，

sin30°===，

所以AD=1，

在Rt△ACD中，

cos∠CAD==，

所以∠CAD=45°，

如圖6，∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°，

或如圖7，∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-45°=15°.

六、 建模的思想

解直角三角形在生產、生活中有著廣泛地應用，這就要求我們能從實際問題出發去分析、構建直角三角形模型.

例7 如圖8，天空中有一個靜止的廣告氣球C，從地面A點測得C點的仰角為45°，從地面B點測得C點的仰角為60°. 已知AB=20 m，點C和直線AB在同一鉛垂平面上，求氣球離地面的高度.（結果保留根號）

【分析】本題是測量問題，可通過作CD⊥AB構建直角三角形模型進行求解.

解：作CD⊥AB，垂足為D，設氣球離地面的高度是 x m，

在Rt△ACD中，∠CAD=45°，

所以AD=CD=x，

在Rt△CBD中，∠CBD=60°，

所以tan60°=，所以BD=x，

因為AB=AD-BD，

所以20=x-x，

所以x=30+10，

所以氣球離地面的高度是（30+10）m.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實驗學校）