滲透數學思想，優化課堂教學

鄒小英

摘 要： 數學思想是數學知識的核心，是現代文化的重要組成部分，其教育價值不亞于知識本身。在數學教學中通過“精心預設”、“呈現過程”、“解決問題”、“反思總結”四個途徑滲透數學思想，優化課堂教學，提高學生的數學素養。

關鍵詞： 數學思想 挖掘 體驗 運用 內化

數學思想是數學的靈魂，是數學知識的核心，是現代文化的重要組成部分，其教育價值不亞于知識本身。日本著名數學教育家米山國藏指出：“學生所學到的數學知識，在進入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那些銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法卻長期地在他們的生活和工作中發揮著作用。”《義務教育數學課程標準（2011年版）》的總體目標明確提出：通過義務教育階段的數學學習，學生應能夠獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。新課程把基本的數學思想作為目標的重要組成部分，并在數學課程標準中明確提出來，可見數學思想的重要性。那么，在平時的教學中如何滲透數學思想，才能讓學生真正領會和掌握，達到優化課堂教學的目的呢？我結合教學經驗談談自己的做法。

一、精心預設，挖掘思想

數學教學內容貫穿著兩條主線：數學基礎知識和數學思想方法。數學基礎知識是一條明線，直接用文字的形式寫在教材里；數學思想方法是一條暗線，存在于具體的數學學習內容中，是借助數學知識為載體呈現出來的，是隱性的“知識”，需要加以分析、提煉才能凸顯出來。這就要求教師鉆研教材，認真備課，挖掘每一堂課所蘊含的數學思想方法，在教學設計中將數學思想方法直接預設到各個活動環節并展示給學生。

案例1：“不等式的概念”的教學片段

問題下列問題中的數量關系能用等式表示嗎？若不能，應該用怎樣的式子表示？

（1）a是負數；

（2）4支單價為a元的筆記本總價錢為12元；

（3）據天氣預報預測，明天最低溫度為6（℃），設明天的氣溫為t（℃），怎樣表示t與6的關系？

（4）圖為公路上對汽車的限速標志，表示汽車在該路段行駛的速度不得超過60㎞/h，用（㎞/h）表示汽車的速度，怎樣表示和60之間的關系？

（5）一輛勻速行駛的汽車在11﹕20距離A地50千米，要在12﹕00之前駛過A地，車速應滿足什么條件？（設車速為千米/小時）

師生活動得出答案：（1）a<0 （2）4a=12 （3）t≥6 （4）v≤60（5）x>50

【說明】既出現用“等式”表示實際問題的數量關系，又出現用“不等式”表示實際問題的數量關系，初步感受不等式也是刻畫現實世界的數學模型，體會模型思想與分類思想。

追問1：上述式子中，哪些是我們學習過的式子，它們叫什么名字？哪些是我們沒有學習過的式子，你能給它們取個名字嗎？

追問2：類比等式的定義，你能給不等式下定義嗎？

追問3：你能說說你所見過的“不等號”嗎？

師生活動：不等式的概念為“用不等號連接表示大小關系的式子叫做不等式”。

【說明】通過追問，學生自然地將式子分為“等式”和“不等式”兩類，類比“等式”的概念自主構建“不等式”的概念，體會“不等式”是刻畫現實世界不可或缺的模型。

教材中概念的給出較直接和抽象，這個教學中教師以問題為載體，通過精心地預設和適時地點撥引導，不知不覺地將數學思想方法融入教學，即通過分析幾個具體的實際問題抽象出不等式概念的過程，滲透類比、分類、模型的思想方法。這些思想方法不是生搬硬套地塞給學生，而是水到渠成地揭示，這樣的數學思想方法的教學是自然的。

二、呈現過程，體驗思想

數學概念的形成，定理、公式、法則的探索過程，習題的解答過程都蘊含著豐富的數學思想方法，學生只看教材內容，不易發現其中的數學思想方法。在教學中教師要以組織者的身份引導學生，充分展示知識的發生、發展和形成過程，營造寬松和諧的教學氛圍，讓學生動手、動口、動腦積極參與探究過程，使學生切實體會到數學思想方法的意義和作用。

案例2：“多邊形的內角和”的教學片斷：

師：三角形的內角和等于180°，正方形的內角和等于360°，那么任意四邊形的內角和是否也等于360°呢？證明你的結論。

生1：360°。如圖1，連接一條對角線，四邊形分成兩個三角形，內角和是2×180°=360°。

圖1

師：很好！利用化歸思想把四邊形問題轉化為三角形問題來解決。

師：類比四邊形內角和的推導方法，你能求出五邊形、六邊形的內角和各是多少嗎？

生2：如圖2，過五邊形的一個頂點可以引2條對角線，把五邊形分成3個三角形，內角和是3×180°=540°。

生3：如圖3，過六邊形的一個頂點可以引3條對角線，把六邊形分成4個三角形，內角和是4×180°=720°。

師：很棒！通過以上問題，你能發現多邊形的內角和與邊數的關系嗎？怎樣求n邊形的內角和呢？

生4：從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，把n邊形分成（n-2）個三角形，n邊形的內角和等于（n-2）×180°（n≥3）。

師：利用剛才的思路，把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他方法嗎？以六邊形為例。

生5：如圖4，可以在六邊形的內部任取一點，分成六個三角形，這時多了一個周角，因此內角和為：6×180°-360°=720°。

生6：如圖5，可以在六邊形的任一條邊上取一點，分成五個三角形，這時多了一個平角，因此內角和為：5×180°-180°=720°。

師：同學們思維很敏捷，上面給出分割的方法都很好，這三種分割方法有什么相同點和異同點？

生7：相同點是三種分割方法都把多邊形分成幾個三角形，再利用三角形的內角和求得；不同點是取點的位置不同，把點分別取在六邊形的頂點上、內部、邊上。

若是教師直接給出公式，再配套相應的題目予以鞏固，從應試的角度出發，則效果一定不差，但數學思想無法呈現和發展。學生在親身經歷的探索思考過程中感受和體驗到重要的數學思想：化歸、類比、分類討論等思想，經歷從特殊到一般的歸納方法。

三、解決問題，運用思想

數學的教學離不開解題，數學思想是解題的法寶。數學問題的解決過程，實質上是解題技能和數學思想方法的選擇和運用的過程。隨著同一種思想方法解決不同的數學問題的次數增多，學生不斷提煉和積累解題的思想方法，隱藏在數學知識后面的數學思想方法就會逐漸被學生所掌握，進而形成運用思想方法進行思維的意識和習慣，當積累到一定的程度時，其隱藏的思想方法就會隨之凸顯出來，并自覺指導解題實踐。教師要從題海中選擇典型的試題，采用恰當的教學方法，讓學生從解題過程中體驗數學思想方法，解題之后引導學生理清思路，及時歸納，在運用中獲得發展。

案例3：等腰三角形的有關計算：

（1）若等腰三角形的周長為10cm，且一邊長為4cm，則它的腰長是多少？

（2）若等腰三角形的一個外角為100°，則它的頂角為多少度？

（3）若等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1：2，則它的頂角為多少度？

等腰三角形邊、角計算問題運用分類討論的思想，邊：分類為腰或底；角：分類為頂角或底角；高：分類為高在三角形內部或外部。

此題所給條件限制較多，直接化簡較難，借助數軸運用數形結合思想，所給條件直觀化，整個化簡過程簡便多了。常借助數軸，運用數形結合的思想進行有關絕對值的計算。

四、反思總結，內化思想

數學思想方法是通過教學過程逐步滲透的，零散地分布在教學內容中，同一數學思想也許今天滲透了明天就沒有，也許這一單元有的思想方法下一單元沒有，它的教學是間斷不連續的，是零散不系統的。我們可以通過解題后的回顧、課堂小結、單元復習、總復習進行歸納與總結，使零散的思想方法系統化，并逐步內化為解題思維，以便學生在學習中自覺遷移和應用。1.解題后引導學生反思解題思路、運用的知識點和數學思想方法。2.歸納某一數學思想方法貫穿于哪些知識之間，如方程（組）的學習運用化歸思想，分式方程化歸為整式方程，一元二次方程化歸為一元一次方程，三元一次方程組化歸為二元一次方程組再化歸為一元一次方程，即把分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程一元化；一次函數、反比例函數、二次函數的學習都離不開數形結合。3.某一部分知識可以滲透哪些數學思想方法，如生活中用料造價、最佳投資、最小成本、方案最優等數學問題，常用方程和函數思想解決。

由于同一數學知識可蘊含不同的思想方法，而同一數學思想又常常分布在不同的知識點中，因此經常反思總結，有助于形成完善的認知結構，有助于學生內化思想方法。

數學思想方法的滲透是長期的、漸漸的、反復的過程，只要教師有目的、有意識、主動地把數學思想方法融入教學中，引導學生自主構建數學思想方法，學生對數學思想方法的認識一定會日趨成熟，學習能力和數學素養定會得到提高。

參考文獻：

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[3]王萬豐.注重類比，促進概念的自然生成——人教版“不等式及其解集”教學設計[J].中國數學教育，2014（6）：42-45.