例析“整體思想”在解題中的應用

萬曉斌

數學的思想方法很多，“整體思想”即為其中之一.數學習題中，由給定條件按照常規的方法和步驟不能直接得到解決，要不就是解題過程繁瑣，會走很多彎路.而把“非必求部分”視為一個“整體”，可以找到解決問題的捷徑.這種體現“整體思想”的解題方法，會使問題簡單化，如果能夠在解題中靈活應用，將會收到事半功倍的效果.

例5：已知y+b與x+a（a、b為常數）成正比例，且x=3時，y=5；x=2時，，試確定y與x的函數關系式.

解：∵y+b與x+a成正比例

∴y+b=k（x+a）①

當x=3時，y=5；x=2時，y=2代入①式得

3k+（ka-b）=52k+（ka-b）=2

解方程組得：k=3，ka-b=-4.

于是y與x的函數關系式為：y=3x-4.

評析：由以上方程組要分別求出待定系數k、a、b，確實困難，因為ka-b整個相當于一次函數一般表達式y=kx+b中的常數b，所以只有把ka-b作為一個整體，能最終確定y與x的函數關系式.

例6：有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運貨15.5噸，5輛大車與6輛小車一次可以運貨35噸，求3輛大車與5輛小車一次可運貨多少噸？

解：設1輛大車和一輛小車一次可分別運貨x、y噸，根據題意，得

2x+3y=15.5 ①5x+6y=35 ②

①×7-②得：9x+15y=73.5

即3x+5y=24.5

也就是3輛大車與5輛小車一次可運貨24.5噸.

評析：常規方法是通過解上述二元一次方程組，先求出x、y的值，再進一步去求3x+5y的值.但本題中，要求的是3輛大車和5輛小車一次可以運貨多少噸，故把3x+5y看做一個整體，通過觀察方程未知數各系數的特點，由上述方法即可以一步到位，求解簡捷、快當.

總之，利用“整體思想”解題就是把一個復雜的問題通過變形，轉換成一類整體，通過對簡單的整體進行求解之后，再解決相關問題的方法.在數學教學中教會學生利用“整體思想”解題，可以提高學生的觀察、分析能力，轉化思維的能力，以及化歸思想和收斂思維能力，從而提高學生靈活解決數學問題的能力.