關于復變函數中“∞”的幾個注記

羅世堯

摘 要： 無窮遠點是復平面上一個非常重要的點，正確理解無窮遠點的含義及有關概念對學習復變函數理論至關重要.本文在擴充復平面的幾何模型復球面上，對無窮遠點的含義及相關性質做了說明和注釋.

關鍵詞： 無窮遠點 復球面 復平面 注記

1.復球面

把一個球面放在z平面上，切點為原點O，通過O的直徑與球面交于N，O是南極，N為北極（見圖）.設Z為復平面上的一點，連接Z與球面相交于P點，這樣就建立起球面上的點和復平面上的點間的一一對應，南極點對應坐標原點，北極點N無法找到復平面上一個有限點與之對應，為此我們假設N對應復平面的無窮遠點，記作∞.復平面加上∞后稱為擴充的復平面，記作C■，與它對應的就是整個球面，稱為復球面.擴充復平面的一個幾何模型就是復球面.

幾點說明：

①擴充復平面上任一條直線對應復球面上經過北極點的一個圓，通過原點的直線對應大圓，這說明擴充復平面上任一條直線都通過∞點，直線可以看成圓（廣義圓）.

②擴充復平面上兩條平行線對應著復球面上兩個相交于北極點的圓，所以擴充復平面上兩條平行線相交于無窮遠點.

③擴充復平面上兩條相交直線也交于無窮遠點.

2.關于“∞”的幾個注記

注記1：∞的模、輻角及實部與虛部

復數z=x+iy的模r=|z|=■，可以說是點z到原點的距離，∞不是有限點，所以規定|∞|=+∞.復數的輻角定義為實軸正向到非零復數z=x+iy所對應向量■見的夾角θ，合于tanθ=■.由于經過原點的所有直線都可以到達無窮遠點，因此無窮遠點的輻角無法確定，即無窮遠點的輻角沒有意義，無窮遠點的實部、虛部也不確定.

注記2：∞遠點與實數系中無窮大的區別與聯系

在復平面上，∞是一個假想的點，和實數系中的無窮大既有區別又有聯系，實數系中的無窮大是絕對值無限增大的變量，有正無窮大和負無窮大之分，但在復變函數中把無窮大看作一個點，無窮遠點的模|∞|=+∞（實數系中的正無窮大），實部、虛部可以取到∞（實數系中的無窮大），無窮遠點的實部、虛部不確定，但至少有一個是無窮大.

注記3：關于∞的運算

在C■上∞可以參與各種運算，但需做一些規定：

（1）運算∞±∞，0·∞，■，■無意義.

說明：∞的實部、虛部不確定，∞±∞也不確定，即∞±∞無意義；∞和0的輻角不確定，0的模是0，所以運算0·∞，■，■無意義；

（2）α≠∞時，■=∞，■=0，∞±α=α±∞=∞.

說明：在運算■，■時，第一個的模為+∞，第二個的模為0，所以規定■=∞，■=0；雖然∞的實部和虛部不確定，但至少有一個為∞，對于有限復數α，∞±α，α±∞的實部或虛部，至少有一個是∞，所以∞±α=α±∞=∞；

（3）b≠0（但可為∞）時，∞·b=b·∞=∞，■=∞.

說明：當b≠0時，∞·b，·∞，■的模都為+∞，所以規定∞·b=b·∞=∞，■=∞；

由上面的討論不難看出這些規定的合理性.

注記4：∞的鄰域

在復球面上，北極點N鄰域是一個以北極點為中心的一個球蓋，邊界是緯線，投影到復平面上就是一個以原點為心的圓周的外部，所以在擴充復平面上，無窮遠點的鄰域應理解為以原點為心的某圓周的外部，即∞的ε一鄰域N■（∞）是指合于條件|z|>■的點集；去掉北極點N的一個球蓋對應著∞的去心鄰域，是指合條件的■<|z|<+∞點集.

注記5：有關概念推廣到∞

在擴充復平面上，聚點、內點和邊界點等概念均可以推廣到點∞，于是，復平面以∞為其唯一的邊界點；擴充復平面以∞為內點，且它是唯一的無邊界的區域.例如：∞是無窮點集{i，2i，3i，…，ni，…}的聚點，是擴充復平面上點集E={z||z|>1}的內點，是上半平面lmz>0的邊界點.含有∞的區域在復平面上和擴充的復平面上的連通性不一樣，如以原點為心的圓周的外部，在復平面上是二連通區域，在擴充的復平面上則是單連通區域.

注記6：廣義極限

在擴充復平面上，點∞可以在函數的定義域中，函數值也可以取到∞，因此，函數的極限與連續性的概念可以推廣.在關系■f（z）=f（z■）中，如果z■及f（z■）之一或者它們同時取∞，就稱f（z）在點z■為廣義連續的，極限就稱為廣義極限.在這種廣義的意義下，極限和連續的ε-δ說法要相應修改.廣義極限的幾種形式：

（1）■f（z）=w■？圳任給ε>0，存在δ>0，只要|z|>■時就有|f（z）-w■|<ε.

（2）■f（z）=∞？圳任給ε>0，存在δ>0，只要0<|z-z■|<δ時就有|f（z）|>■.

（3）■f（z）=∞？圳任給ε>0，存在δ>0，只要|z|>■時就有|f（z）|>■.

3.結語

復平面加上非正常復數稱為擴充復平面，復球面與擴充復平面的可以建立一一對應，通過復球面這個模型，我們不僅看到了的存在性，而且說明了唯一性，在復變函數中是一個非常重要的點.本文通過復球面這個模型，對的幾何特性及有關概念作了深入的闡述，使讀者能全面深刻地理解擴充復平面上的，為進一步研究的其他性質，如的輻角原理、奇點性質及留數計算打下堅實的基礎.

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