中考試卷中“一元二次方程”試題的分析

張亞東 劉家源

摘 要： 為了了解中考數學“一元二次方程”試題的命題特點和規律，本文主要對2009-2014年蘭州市中考數學試題進行了對比分析，從而得到在各地中考試題中，一元二次方程的定義，根的判別式，根與系數的關系的考查多以選擇題和填空題的形式出現，而方程的解法及其應用多以解答題的形式出現，試題難度不大，題量約3-5題，分值約占6%～10%，并對常考內容進行了歸納整理.

關鍵詞： 一元二次方程 中考試題 備考指導

一元二次方程及其應用是初中數學的重要內容，也是中考命題的重點和熱點之一，下面從四個方面對一元二次方程常考內容加以敘述，期望在教師日常教學和學生復習備考中提供參考和建議.

一、一元二次方程的解法

解一元二次方程的基本思想就是降次，一元二次方程的常見解法有四種：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法.其中公式法是解一元二次方程的通法，配方法是公式法的基礎，直接開平方法、因式分解法解某些特殊的一元二次方程方程非常簡單，掌握各種方法的基本思想是正確解方程的根本.

（1）直接開平方法：形如（x±m）■=n（n≥0）的一元二次方程就用直接開平方法求解.

（2）因式分解法：可化為a（x+m）（x+n）=0（a≠0）的方程用因式分解法求解.

（2012·蘭州·第21題·6分）已知x是一元二次方程x■-2x+1=0的根，求代數式

■÷（x+2-■）

的值.

（3）公式法：求根公式為x=■（b■-4ac>0）.

（2014·蘭州·第21題（2）·5分）當x為何值時，代數式x■-x的值等于1.

（2013·蘭州·第21題（2）·4分）解方程：x■-3x-1=0.

（4）配方法：若ax■+bx+c=0（a≠0）不易因式分解，可考慮配方為a（x+h）■=k（a≠0）再用直接開平方法求解.

（2013·蘭州·第8題·4分）用配方法解方程x■-2x-1=0時，配方后所得方程為（ ）

A.（x+1）■=0 B.（x-1）■=0 C.（x+1）■=2 D.（x-1）■=2

（2011·蘭州·第10題·4分）用配方法解方程x■-x-5=0時，原方程應變形為（ ）

A.（x+1）■=6 B.（x+2）■=9 C.（x-1）■=6 D.（x-2）■=9

（2009·蘭州·第21題（2）·5分）用配方法解一元二次方程：2x■+1=3x.

備考指導：解一元二次方程時，首先要觀察分析方程的特點，然后選擇合適的方法解題，有些方程解法不唯一時，一般按照“直接開平方法，因式分解法，公式法，配方法”的順序選擇.值得注意的是解形如（x-2）（2x+1）=3（x-2）一元二次方程時易丟根，有些同學同時除以x-2，走進了失根的誤區，最后需牢記一元二次方程的求根公式和配方法的一般步驟.

二、一元二次方程的根的判別式

（2014·蘭州·第10題·4分）一元二次方程ax■+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根，則b■-4ac滿足的條件是（？搖？搖）

A. b■-4ac=0？搖？搖？搖？搖B. b■-4ac>0 C. b■-4ac<0 D.b■-4ac≥0

（2013·蘭州·第17題·4分）若|b-1|+■=0，且一元二次方程kx■+ax+b=0有實數根，則k的取值范圍是？搖 ？搖.

（2010·蘭州·第16題·4分）已知關于x的一元二次方程（m-1）x■+x+1=0有實數根，則m的取值范圍是？搖 ？搖

備考指導：這類問題往往是與一元二次方程的定義相結合考查的，而考生易把二次項系數不為零這一隱含條件忽略，所以在牢記一元二次方程ax■+bx+c=（a≠0）根的情況與根的判別式b■-4ac的關系b■-4ac>0？圳一元二次方程有兩個不相等的實數根；b■-4ac=0？圳一元二次方程有兩個相等的實數根；b■-4ac<0？圳一元二次方程沒有實數根）的基礎上，必須考慮二次項系數不為零.

三、一元二次方程根與系數的關系

（2012·蘭州·第27題·10分）若x■、x■是關于一元二次方程ax■+bx+c（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x■、x■和系數a、b、c有如下關系：x■+x■=-■，x■·x■=■.把它稱為一元二次方程根與系數關系定理.如果設二次函數y=ax■+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的兩個交點為A（x■，0），B（x■，0）.利用根與系數關系定理可以得到A、B兩個交點間的距離為：

AB=|x■-x■|=■=■=■=■.

參考以上定理和結論，解答下列問題：

設二次函數y=ax■+bx+c（a>0）的圖像與x軸的兩個交點A（x■，0）、B（x■，0），拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形.

（1）當△ABC為直角三角形時，求b■-4ac的值；

（2）當△ABC為等邊三角形時，求b■-4ac的值.

（2009·蘭州·第19題·4分）閱讀材料：設一元二次方程ax■+bx+c=0（a≠0）的兩根為x■，x■，則兩根與方程系數之間有如下關系：x■+x■=-■，x■·x■=■.根據該材料填空：已知x■、x■是方程x■+6x+3=0的兩實數根，則■+■的值為？搖 ？搖.

備考指導：首先牢記一元二次方程根與系數的關系：若x■，x■是a■+bx+c=0（a≠0）的兩根，則有x■+x■=-■，x■+x■=■，其次在此基礎上能對下列各代數式進行靈活變形：

x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■；■+■=■；（x■-x■）■=（x■+x■）■-4x■x■；

■+■=■=■.

四、一元二次方程的實際應用

隨著新課程、新課標的實施，素質教育的不斷深入，與我們生產、生活有關的應用問題不斷滲透到數學中，從而出現了一些融入新理念，設計新穎，創設新情境的實際問題，加強了對學生實際應用能力的考查.一元二次方程就是解決這類實際問題的一種有效模型，列一元二次方程解應用題就是先把實際問題抽象為數學問題，然后由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決，利用一元二次方程解決實際問題的關鍵是在透徹理解題意的基礎上準確找出已知量與未知量的關系，這樣才能恰當地設出未知數.分析等量關系時，應抓住問題的數學本質，盡量避免實際情境的干擾，剔除實際背景的文字敘述呈現數學化的形式，列出一元二次方程，求出一元二次方程的根后一定要根據具體情況進行檢驗，把不符合實際意義的方程的解舍去，進而達到求解的目的.再者要善于將應用題分類，現把近幾年一元二次方程常見題型列舉如下：

（1）平均增長（降低）率型

（2013·蘭州·第10題·4分）據調查，2011年5月蘭州市的房價均價為7600元/m2，2013年同期將達到8200元/m2，假設這兩年蘭州市房價的平均增長率為，根據題意，所列方程為（ ）

A.7600（1+x%）■=8200 B.7600（1-x%）■=8200

C.7600（1+x）■=8200 D.7600（1-x）■=8200

（2010·蘭州·第12題·4分）上海世博會的某紀念品原價168元，連續兩次降價a%后售價為128元.下列所列方程中正確的是（ ）

A.168（1+a）■=128 B.168（1-a%）■=128

C.168（1-2a%）=128 D.168（1-a■%）=128

（2009·蘭州·第7題·4分）2008年爆發的世界金融危機，是自上世紀三十年代以來世界最嚴重的一場金融危機.受金融危機影響，某商品原價為200元，連續兩次降價后售價為148元，下面所列方程正確的是（ ）

A.200（1+a%）■=148 B.200（1-a%）■=148

C.200（1-2a%）=148 D.200（1-a■%）=148

備考指導：解決這類有關平均增長（降低）率的問題的關鍵是準確掌握基本關系式b=a（1±x）■，其中a為增長（降低）的基礎數量，x為增長（降低）率，n為增長（降低）的次數，b為增長（降低）后的數量，解這類一元二次方程適合用直接開平方法，最后注意根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性.

（2）幾何型

（2014·蘭州·第19題·4分）如圖，在一塊長為22米、寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米.若設道路寬為x米，則根據題意可列出方程為？搖 ？搖.

（2012·蘭州·第10題·4分）某學校準備修建一個面積為200m■的矩形花圃，它的長比寬多10m，設花圃的寬為xm，則可列方程為（ ）

A.x（x-10）=200 B.2x+2（x-10）=200

C.x（x+10）=200 D.2x+2（x+10）=200

備考指導：幾何型問題多以面積為主，解決這類面積問題的關鍵是熟記特殊圖形的面積公式，其次會將不規則的圖形分割或割補成規則圖形，找出各部分面積之間的關系，再運用規則圖形的面積公式列出一元二次方程.

（3）送照片、握手型

（2011·蘭州·第11題·4分）某校九年級學生畢業時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張留作紀念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學生，根據題意，列出方程為（ ）

A.x（x-1）2070 B.x（x+1）=2070

C.2x（x+1）=2070 D.■2070

備考指導：每個人送照片的張數是總人數減1，所有人送照片的總張數是總人數乘以總人數減1，所有人握手的總次數恰是所有人送照片的總張數的一半.

（4）銷售利潤型

（2013·廣東汕頭澄海·第21題·7分）“友誼商場”某種商品平均每天可銷售100件，每件盈利20元.“五一”期間，商場決定采取適當的降價措施.經調查發現，每件該商品每降價1元，商場平均每天可多售出10件.設每件商品降價x元.據此規律，請回答：

（1）降價后每件商品盈利？搖 ？搖元，商場日銷售量增加？搖 ？搖件（用含x的代數式表示）；（2）在上述條件不變的情況下，求每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2240元？

備考指導：解決銷售利潤問題的關鍵是掌握利潤問題中常用的關系式，特別是總利潤=每件的利潤*銷售量.

以實際問題為背景的題目，主要考查閱讀能力和理解能力，此類題能夠培養我們利用數學知識解決實際問題的能力，突出體現數學在現實生活中的應用價值，體會設未知數、列方程的代數方法，領略知識從實踐中來到實踐中去.以上例子都是近幾年運用一元二次方程解決實際問題的中考試題，綜觀上述各種問題的解法，我們要牢牢把握列方程解決實際問題的三個重要環節：一是整體地、系統地審清問題；二是把握問題中的等量關系；三是正確求解一元二次方程并檢驗解的合理性.

通過以上分析總結，得出了一元二次方程在中考中的命題規律，希望能為以后一元二次方程的教與學和復習備考提供參考意見.

參考文獻：

[1]毛文鳳.講透教材[M].北京：北方婦女兒童出版社，2009.

[2]張奠宙，張廣祥.中學代數研究[M].北京：高等教育出版社，2006.