高中立體幾何二十四招式理論與實踐（上）

薛超群

摘 要： 高中數學課程的總目標提出培養學生的空間想象等基本能力.如何在教學中對教材內容做進一步提煉、概括，總結立體幾何招式套路在解決立體幾何問題中的應用，將立體幾何題目的解決轉化為尋找相對應的招式，使學生學習起來能通俗易懂、快速有效.

關鍵詞： 教材內容提煉 立體幾何招式套路 解決立體幾何問題

根據《全日制普通高中數學新課程標準》，高中數學課程的總目標是：使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要.具體目標提出提高學生的空間想象等基本能力. 高中立體幾何二十四招式理論，是將立體幾何中最重要的解題思路總結歸納成招式模式，每一個招式指的是一種解題思路，共二十四個思路.高中立體幾何二十四招式實踐，是指高中立體幾何二十四招式在解決立體幾何問題中的應用，將立體幾何題目的解決轉化為尋找相對應的招式.高中立體幾何二十四招式理論與實踐，是指上述兩項內容的總稱.如何在教學中對教材內容做進一步提煉、概括，總結出立體幾何招式套路在解決立體幾何問題中的應用，將立體幾何題目的解決轉化為尋找相對應的招式，使學生學習起來通俗易懂、快速有效.

高中立體幾何二十四招式前半部分簡介如下：

招式一：看到中點找中點：看到三角形一條邊的中點，取另一邊的中點，連接兩個中點.即若E為△ABC邊AB中點，則連接E與另一邊中點.

招式二：看到垂直做垂直：看到平面α⊥β，在平面α內作垂直于兩平面交線l的直線α，則所作的直線l⊥β.即若α⊥β，α∩β=l，a∩α，a⊥l，則a⊥α.

招式三：看到等腰就劈斷：看到等腰三角形ABC，連接頂點和底邊中點.即若D為等腰三角形ABC底邊BC的中點，則連接AD.

招式四：電線桿和田埂：直線l和平面α垂直，則直線l垂直于α內的任一直線a.即若l⊥α，a？奐α，則l⊥a.

招式五：泥工師傅灌平臺：平面α內兩交線分別平行于平面β，則α∥β.即若a？奐α、b？奐α，a∩b=O，a∥α，b∥β，則α∥β.

招式六：吊瓶架兩垂直：直線l垂直于平面α內的兩條交線，則l⊥α.即若a？奐α、b？奐α，a∩b=O，l⊥a，l⊥b，則l⊥α.

招式七：公理四傳染病：直線a與直線b平行，直線b與直線c平行，則直線a與直線c平行.即若a//b，b//c，則a//b.

招式八：透過竹簽就垂直：平面β經過另一個平面α的垂線l，則α⊥β.即若l⊥α，l？奐β，則α⊥β.

招式九：直躺二樓平一樓：平面α與平面β平行，直線l在平面α內，則l//β.即若l？奐α，α∥β，則l//β.

招式十：三推一：平面α外的一條直線a平行于平面α內的一條直線b，則a//β.即若a//b，a？埭α，b？奐β，則a//β.

招式十一：棱（人）無處不在：棱錐中，棱包括側棱和底面多邊形邊長. 即在棱錐中，棱包括側棱

招式十二：棱柱兩平行：棱柱兩個底面互相平行，側棱也互相平行.即棱柱底面α與底面β互相平行，

利用以上的招式套路，可以解決大部分立體幾何問題，思路清晰，簡潔明快.

例1.如圖，在正四面體A-BCD中，求證：CD⊥AB.

分析：要證明CD⊥AB，只需證明CD垂直于AB所在的平面.

看到CD=AC，BC=BD，用招式三“看到等腰就劈斷”.

看到AD⊥AE，CD⊥BE，用招式六“吊瓶架兩垂直”.看到CD平面ABE，用招式四“電線桿和田埂”.

證明：取CD邊中點，連接AE、BE，

∵AD=AC，∴CD⊥AE，同理CD⊥BE，

∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，

∵AB？奐平面ABE，∴CD⊥AB.

例2.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，AD=DE=2 AB，△ACD為正三角形，且F是邊CD的中點.（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE.

分析：（Ⅰ）要證明AF∥平面BCE，只需證明AF平行于平面BCE內的一條直線，用招式一“看到中點找中點”、 招式十“三推一”、招式七“公理四傳染病”.

（Ⅱ）要證明平面BCE⊥平面CDE，只需證明平面BCE內的一條直線與平面CDE垂直，用招式一“看到中點找中點”、 招式十“三推一”、 招式七“公理四傳染病”、 招式八“透過竹簽就垂直”招式.

證明：（Ⅰ）取CE邊中點P，連接連接BP、PF，

∵F是邊CD的中點，∴PF//DE，∵DE//AB，∴AB//PF.

∵DE=2 AB，PF=2AB，∴AB=PF，∴四邊形ABPF是平行四邊形，

∴BP//AF，∵AF？埭平面BCE，BP？奐平面BCE，∴AF∥平面BCE.

（Ⅱ）由△ACD為正三角形，∴AF⊥CD，

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，

∴DE⊥AF，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE，

∵BP？奐平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

例3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2 AB=2 BC=2，O為AD中點.求證：PO⊥平面ABCD.

根據《全日制普通高中數學新課程標準》及心理學理論，在高中立體幾何教學中，對有關概念、公理、性質等內容進行提煉總結，學生根據總結出的二十四招式套路，應用發現思維等尋找證明思路，可以提高立體幾何解題能力，增強學習信心.

參考文獻：

[1]全日制普通高中數學新課程標準.北京：北京師范大學出版社，2007.