關于麥克斯韋方程組教學研究探討

田碩 丁佩

摘 ? ?要： 本文對麥克斯韋方程組教學進行研究探討，對其誕生的背景、形式、推導、理解等情況進行分析，并闡述了其物理內涵和物理學史的意義，討論了麥克斯韋方程組教學中注意的問題，分析了其建立過程對我們的啟迪意義。

關鍵詞： 麥克斯韋方程組 ? ?電磁場 ? ?散度 ? ?旋度 ? ?電磁波

麥克斯韋方程組是電磁學中的基本物理公式，是整個電磁學大廈的基石。這在電磁學、電動力學等大學物理基礎課程里都有深入的講解，但還有不少同學對麥克斯韋方程組的理解不夠深刻，不能熟練利用其解決電磁學問題。筆者結合多年教學經驗和科研工作的體會，從教學內容，教學方法及應用等方面給出了麥克斯韋方程組研究性教學的體會。

一、了解麥克斯韋方程組誕生的背景

麥克斯韋方程組是英國物理學家麥克斯韋總結電磁場基本規律的一組方程，是19世紀物理學領域最矚目的科學成果之一，雖然歷史賦予麥克斯韋完成這一科學歷史使命，但從整個科學界的發展環境來看，麥克斯韋方程組的誕生也具有歷史發展的必然性。庫侖定律、畢奧—薩伐爾定律、安培定律、歐姆定律及法拉第電磁感應定律的相繼建立，并表明電磁學各個局部的規律已經發現，同時意味著建立普遍的電磁理論，對各種電磁現象提供統一解釋的條件已經成熟。此外，在關于電磁作用的機制和本質解釋上，超距說和近距說有過激烈的斗爭和交鋒，但最終以麥克斯韋和法拉第為代表的近距說，能更好地解釋實驗事實，并最終導致了近距作用的電磁理論——麥克斯韋電磁場理論的誕生，而麥克斯韋方程組就是麥克斯韋理論中的重要部分。1864年12月8日，麥克斯韋在英國皇家學會宣讀了關于電磁場理論的總結性論文《電磁學動力學理論》，并于1865年在英國《皇家學會學報》上發表。在該論文的第三部分“電磁場的普遍方程組”中，第一次提出了麥克斯韋方程組，這是該論文的核心和主要成果。

二、掌握麥克斯韋方程組在不同情況下的形式

麥克斯韋方程組是指下列的一組方程組：

（1）真空情況下

上面第一組方程反映了電荷電流激發電磁場及電磁場內部的運動規律，上面第二組方程表示的是，不存在自由電荷和電流，電磁場的相互激發，通常稱作無源麥氏方程組。

（2）介質中的麥克斯韋方程組

很明顯可以證明，真空中麥克斯韋方程只是介質中麥克斯韋方程的特殊形式。

（3）麥克斯韋方程的積分形式

以介質中麥克斯韋方程為例：

（4）介質表面的麥克斯韋方程——邊值關系：

三、關于麥克斯韋方程組的最初推演過程

麥克斯韋在《電磁學動力學理論》中建立的電磁場普遍方程組，是用直角坐標分量形式給出的，共20個標量方程，其中包括20個變量（標量），它與教科書中的麥克斯韋方程很接近，只是它是以標量形式表示的，并且給出了8組方程，但這個方程顯得很繁雜，寫成矢量形式更簡潔，即下面8個方程：

可以指出，（2）式是磁場高斯定理，（1）和（3）是安培環路定理，（4）是電磁感應定律，（7）式是電場中的高斯定理，（5）、（6）=μ分別描述介質極化、導電、磁化性質，（8）是電荷守恒規律。經過公式的綜合和推理，進一步簡化即可得麥克斯韋方程現在的形式。

此外，根據能量原理和近距原理，根據庫侖定律和洛倫茲變換、根據變分原理也可以從不同角度建立麥克斯韋方程式，大家可以參閱相關參考書。

三、關于麥克斯韋方程組的理解

麥克斯韋方程由四個方程組成，每個方程的物理意義都很明確，其不包括電流連續性方程，是因為該方程可以由方程中的另外兩個方程導出。根據亥姆霍茲定理，矢量場的旋度和散度都表示矢量場的源，所以麥克斯韋方程表明了電磁場和它們的源之間的全部關系，即除了真實電流外，變化的電場（位移電流）也是磁場的源;除電荷外，變化的磁場也是電場的源。麥克斯韋方程組是宏觀電磁現象的總規律，靜電場和恒定磁場的基本方程都是麥克斯韋方程的特例。電磁理論的研究對象通常包括兩個物質場，即電磁場和帶電電流場，兩者之間存在相互作用，麥克斯韋方程組就是電磁場的演化（運動）方程組，通過求解麥克斯韋方程組的微分方程，可以得到許多解都表示以光速傳播的波動方程，稱為電磁波，這也表明光是一種電磁波，進而把光學和電磁學統一起來，正是麥克斯韋最早最敏銳地發現了這一點。麥克斯韋方程組不僅揭示了電磁場的運動規律，更揭示了電磁場可以獨立于電荷之外而存在，這樣就加深了我們對電磁場物質性的認識。

四、麥克斯韋方程組教學過程中要注意的一些問題

在麥克斯韋方程和介質方程的教學中，還有一些值得注意的問題，容易引起困惑和誤解，需要進一步地分析、說明和解釋。

1.建立麥克斯韋方程組，提供了一個很好機會，系統回顧比較靜電場、渦旋電場、恒定磁場，變化電場產生的磁場的性質和特質，認清異同，有助于理解方程中各量的含義與適用范圍。更重要的是，由于電磁場的內在聯系，使各方程整合成麥克斯韋方程組，不僅描繪了電磁場的性質，更成了電磁場運動變化所遵循的規律，實現了質的飛躍。

2.介質方程的建立，提供了全面考察電磁場與實物相互作用的機會，可以詳盡討論電荷的劃分、電流的劃分，準確闡述感應、極化、磁化及線性介質的含義，使學生得到比較全面的認識。

3.電位移與磁場強度的理解，知道它們的引入是為了消除麥克斯韋方程中未知或無法測量的極化電荷、磁化電流或極化電流。如果自由電荷和傳導電流中也包括未知的部分，就涉及場源的分解方式是否唯一，以及不同分解方式下怎樣重建麥克斯韋方程的問題。

五、麥克斯韋方程的建立過程帶給我們的啟迪

以麥克斯韋方程為標志的電磁場理論，形式簡潔，內容廣泛，影響深遠，物理思想極其深刻。作為重要的教學內容，適當地進行物理思想和研究方法的教育是必要的。從麥克斯韋方程的建立過程，我們可以得到以下啟示：

1.尋求聯系，發現規律，揭示本質，建立統一理論。無論牛頓對天與地的統一，麥克斯韋理論對電、磁、光的統一，以及以后的愛因斯坦狹義相對論將電磁學與力學實現統一，都標志物理學發展的歷史，就是在不斷地尋求共性，尋求統一的過程。

2.善用類比方法。麥克斯韋通過電磁場與流速場的類比研究，并引入了電力線的概念，引入了流體力學里的通量與環流，從而打開了局面，澄清了思想，取得了有效進展。

3.淵博的學識、深刻的洞察力和嚴謹精確的表達。淵博的學識、深刻的洞察力和嚴謹精確的表達是一位優秀偉大的物理學家所要具備的素質，而麥克斯韋正是這些優秀素質的綜合體現者。能夠發現電磁學局部理論之間的聯系，需要知識和洞察力，而麥克斯韋方程式的嚴謹和精確是物理學趨于成熟的重要標志，也是麥克斯韋對物理規律的深刻理解和數學能力的重要體現。

4.和諧意境。自然界是一個相互關聯、相互制約的和諧整體，描述自然界基本規律的物理理論，也應該是和諧的。麥克斯韋方程就體現處一種對稱美、和諧美、簡潔美，也是自然界和諧意境的重要體現。

六、麥克斯韋電磁場理論的歷史意義

麥克斯韋電磁場理論是一個完整的理論體系，不僅對電磁學領域已有的研究成果作了很好的總結，而且為進一步的研究提供了理論基礎，從而迎來了電磁學全面蓬勃發展的新時期。麥克斯韋電磁場理論的建立開辟了許多新的研究課題和方向，如通訊、廣播、電視事業的發展，材料電磁性質的研究等，對技術進步和文化生活繁榮起了重要作用。

光的電磁理論是麥克斯韋電磁場理論的重大成果，實現了光學與電磁學的統一。麥克斯韋電磁場理論的歷史意義還在于引起了物理實在觀念的深刻變革，電磁場是一種不同于實物粒子的客觀存在，對人類的世界觀和物質觀加深了認識，同時印證了電磁作用的近距觀點，電磁作用變化遵循麥克斯韋方程，非接觸的電磁物體之間，以電磁場傳遞電磁作用，傳遞是需要時間的，即是近距的。

當然，麥克斯韋的電磁場觀念還不夠徹底，它沒有擺脫以太觀點的影響，在一定程度上還有機械論的色彩，同時，麥克斯韋方程、伽利略變換、相對性原理三者不能共存，直接導致了狹義相對論的誕生。

總之，麥克斯韋方程組的教學是大學物理、電磁學、電動力學等學科教學中的重要部分，本文對麥克斯韋方程組的誕生、形式、教學注意事項、理解、物理意義及歷史意義分別進行了探討，希望能給教育一線的同行有所啟示。

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