一題多變，思維發散

司琪

1.知識具備

x ≥0→（a-b） ≥0→a +b -2ab≥0，即：

（1）a +b ≥2ab，注意乘積為定值，平方和有最小值，當且僅當a=b時取等號.

（2）ab≤ ，注意平方和為定值，乘積有最大值，當且僅當a=b時取等號.

若a、b∈R ，則有：

（3）a+b≥2 ，乘積為定值，和有最小值，當且僅當a=b時取等號.

（4）ab≤（ ） ，和為定值，乘積有最大值，當且僅當a=b時取等號.

2.習題訓練

（1）已知mn=10，求m +n 的最小值.

解：m +n ≥2mn，當且僅當m=n= ，即m +n =2mn=20時，m +n 有最小值為20.

例1：已知xy=4，z=4x +y ，求z的最小值.

例2：求函數y=x + （x≠0）的值域.

（2）已知m +n =100，求mn的最大值.

解：mn≤ =50，當且僅當m=n=5 時mn有最大值為50.

例1：已知4a +b =100，求ab的最大值.

例2：已知a +b =10，求 ab的最大值.

（3）求函數y=x+ （x≠0）的值域.

解：當x>0時，x+ ≥2 =2，當且僅當x= 即x=1時有最小值2;

當x<0時，-x>0，故x+ =-[（-x）+ ]≤-2 =-2，當且僅當-x= 時即x=-1時有最大值-2.

綜上，y∈（-∞，-2]∪[2，+∞）.

例1：已知正數xy=4，求2x+y的最小值.

例2：已知正數xy=16，求3x+2y的最小值.

例3：已知a+b=2，求2 +2 的最小值.

例4：已知正數x、y滿足2x+3y=4，求 + 的最小值.

例5：已知正數x、y滿足 + =4，求2x+y的最小值.

例6：已知點P（2，3）在直線ax+by-9=0上，求 + 的最小值.

例7：求函數y= （x≥-1）的最小值.

例8：求y= + （0

（4）已知x+y=10，求xy的最大值.

解：xy≤（ ） =25，當且僅當x=y=5時xy有最大值為25.

例1：已知2x+y=20，求xy的最大值.

例2：已知正數x、y滿足3x+2y=12，求xy的最大值.

例3：已知正數a、b滿足a+b=100，求lga+lgb的最大值.

例4：已知正數m、n滿足m+n=4，求log m+log n的最大值.

例5：已知a>0，b>0，且ab=a+b+3，求a+b的最小值.

例6：已知a>0，b>0，且2a +b =3，求a 的最小值.

參考習題：

1.已知正數x、y滿足x+4y=1，求 + 的最小值.（答案：9）

2.若直線2ax+by-2=0，（a，b∈R ）平分圓x +y -2x-4y-6=0，求 + 的最小值.（答案：3+2 ）

3.函數y=a -2（a>0，a≠1）的圖像恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0，求 + 的最小值.（答案：8）

4.已知x>0，y>0，且x+y=4，若不等式 + ≥m恒成立，求m的取值范圍.（答案： ）

5.已知x>1，y>1且lgx+lgy=4，求lgx·lgy的最大值.（答案：4）

6.已知a+b=3，求2 +2 的最小值.（答案：4 ）

7.已知a>1，且ab-4a-b+1=0，求（a+1）（b+2）的最小值.（答案：27）

8.已知a>b>0，求a+ 的最小值.（答案：3）

9.已知lgx+lgy=2，求 + 的最小值.（答案： ）

10.當點P（x，y）在直線x+3y=2上移動時，求z=3 +27 +1的最小值.（答案：7）

11.已知x>2，求y=x+ 的最小值.（答案：6）

12.一批救災物資隨26輛車從某市以v公里/小時的速度直達災區.已知兩地公路線長400公里，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于（ ） 公里.求這批物資全部運到災區，至少需要幾個小時？（答案：10）