應用“梁的內力圖規律”畫“靜定多跨梁和剛架的彎矩圖”

禹良工 王玉玲

摘 要： 彎矩圖能形象地表明彎矩在全梁、剛架范圍內的變化情況。通過彎矩圖可以知道最大彎矩值|Mmax|，并能確定它所在的位置。在畫彎矩圖時，如果能掌握荷載作用方式與彎矩之間的一些基本規律，用分段確定彎矩圖的形狀及計算控制截面彎矩值的方法，就能簡捷地畫出靜定多跨梁和靜定剛架的彎矩圖。

關鍵詞： 內力圖的規律 彎矩圖 控制截面

在一般情況下，梁在不同截面上的彎矩值是不同的，在計算梁的強度和剛度時，需要知道最大彎矩值及其所在的截面位置，為此，要了解彎矩在全梁范圍內的變化情況，就要畫彎矩圖。若用橫坐標X表示梁的橫截面位置，那么彎矩值隨X值而變化，即梁的彎矩表示為X的函數，反映梁的彎矩隨X值變化的方程就是彎矩方程。用平行于梁軸的坐標表示梁橫截面位置；垂直于梁軸的縱坐標表示相應截面的彎矩，按一定比例畫出彎矩方程的函數圖形，就叫做梁的彎矩圖，彎矩圖能形象地表明彎矩在全梁范圍內的變化情況。用彎矩方程畫彎矩圖的方法比較繁，需要對梁分段截取脫離體并建立彎矩方程，這個過程是比較繁的，而通過掌握荷載作用方式與彎矩圖之間的一些基本規律（內力圖規律），免去分段截取脫離體并建立彎矩方程的過程，用分段確定彎矩圖的形狀及計算控制截面彎矩的方法畫彎矩圖，就簡捷多了。用此方法也能快速準確地畫出靜定多跨梁和剛架的彎矩圖。

一、內力圖規律

梁的彎矩圖和梁的受力情況存在以下規律。

1.在無荷載作用區段，彎矩圖為斜直線，集中力作用處，彎矩圖發生轉折。

如圖所示，簡支梁在集中力F作用下的彎矩圖。

畫彎矩圖之前，首先應對梁進行分段，分段的關鍵是找出各段分界點，分界點不外乎梁的起、止截面，均布荷載的起、止截面，集中力（包括中間支座反力）及力偶的作用截面。上圖中，集中力F將簡支梁AB分成AC、CB兩個無荷載作用區段，據內力圖規律，AB、CB段的彎矩圖均為斜直線，彎矩圖在集中力F作用處發生轉折。

其次計算出各控制截面的彎矩值，就可以簡捷地畫出彎矩圖。這里的控制截面為梁的起、止截面，集中力（包括中間的支座反力）及力偶作用截面，以及剪力為零的截面（有彎矩極值的截面）。由此可知，圖中的彎矩值控制截面是A、B、C截面，據計算彎矩的規律求得M■=0，M■=■，M■=0，由此計算結果，即可畫出彎矩圖。

2.在向下的均布荷載作用下，彎矩圖為朝上凹的二次拋物線。

對梁進行分段，均布荷載的起、止點A、C，支座A、B是梁的分界點，所以，梁由A、B、C三點分為AB和BC兩段，均為在向下的均布荷載作用下，彎矩圖為朝上凹的二次拋物線。

計算控制截面的彎矩值，該梁的彎矩控制截面有A、B、C截面，此外還有剪力為零的截面，即產生彎矩極值的截面。通過計算得：M■=0，M■=1.125qa■，M■=2qa■，M■=0。由計算結果分別將AB、BC段用平滑的曲線連接起來即可。拋物線有上凹和下凹兩種，當q向下時，彎矩圖為上凹拋物線；當q向上時，彎矩圖為下凹的拋物線。

3.在集中力偶作用處，彎矩圖發生突變，突變的絕對值等于該力偶的力偶矩。

如圖為集中力偶作用下的簡支梁，支座A、B，集中力偶作用點C將梁分成AC、CB兩段，均為無荷載作用區段，彎矩圖分別為斜直線，這里應注意，C截面處彎矩圖將發生突變。

控制截面A、B、C的彎矩值，由于C截面處彎矩圖發生突變，因此C截面的左右截面的彎矩值不等應分別計算。據計算，彎矩的規律M■=0，M■=■，M■=-■，M■=0。最后分別將AC、CB段直線相連即可得到彎矩圖。由彎矩圖可看出，C截面彎矩突變的絕對值等于m。

以上規律不僅適用于簡支梁、外伸梁和懸臂梁，而且適用于靜定多跨梁，同時可以用來畫靜定剛架的彎矩圖。用內力圖的規律畫彎矩圖既準確又方便，尤其是畫幾種荷載共同作用下的彎矩圖時，更能顯示其優越性。

二、利用內力圖規律畫彎矩圖

下面看兩個用內力圖規律畫靜定多跨梁和靜定剛架彎矩圖的例子。

例1：試作圖示靜定多跨梁的彎矩圖。

解（1）計算反力。計算簡圖如圖（a）所示：

由EG的平衡條件可得：Y■=-10KN，Y■=30KN

由GH的平衡條件可得：Y■=30KN，M■=60KNm

由AE的平衡條件可得：Y■=65KN，Y■=-15KN

（2）畫彎矩圖。分段定性：AB、CD、DE、EF、FG、GH均為無荷載作用區段，彎矩圖為斜直線；BC段是有荷載區域，彎矩圖是二次拋物線，凹口朝上，力偶作用的F截面，彎矩圖要突變，集中力（包括Y■、Y■）作用的截面，彎矩圖要發生轉折。

計算各控制截面的彎矩值，由計算結果即可畫出彎矩圖。

這里需要指出的是，在畫該題計算簡圖時，往往有些同學不知道該怎樣處理作用在G鉸上20KN的集中力，該集中力可作用在EG部分（a圖），也可作用在GH部分（b圖），也就是說，計算簡圖可畫成a圖的形式或b圖的形式，最后得到的彎矩圖是相同的。

例2：試作出圖示（a）靜定剛架的彎矩圖。

（a） （b）

分析：靜定剛架內力可用梁的計算內力規律來計算，其彎矩圖也可用梁的內力圖規律畫出。通過平衡條件求出支座反力，剛架的剛節點截面上，一般有剪力、彎矩和軸力三種內力，這些內力和固定端支座的反力形式相同。剛節點處可視作各桿段的固定端，若將所有已知力（包括支座反力）視為外力，剛架的各桿段就成為懸臂梁（或柱）。于是，剛架的彎矩圖問題就轉化為懸臂梁的彎矩圖問題。

解：（1）計算支座反力。利用剛架整體圖（a）的平衡條件得：

∑X=0 20*4-X■=0 X■=80KN

∑■=0 R■*4-40*2-20*4*2=0

R■=60KN

∑Y=0 60-40-Y■=0 Y■=20KN

（2）畫彎矩圖。分段定性：BC、CD為無荷載作用區段，彎矩圖為斜直線；AB段是有荷載作用區段，彎矩圖為二次拋物線，凹面朝左，集中力作用的C截面，彎矩圖發生轉折。

計算控制截面的彎矩值：

AB段：M■=0，M■=80*40-20*4*2=160KNm（右側受拉）

M■=80*2-20*2*1=120KNm（右側受拉）

BC段：M■■=60*4-40*2=160KNm（下側受拉）

M■=60*2=120KNm（下側受拉）

CD段：M■=60*2=120KNm（下側受拉），M■=0

由計算結果即可畫出剛架的彎矩圖（圖（b））

這里需要指出的是，剛架彎矩的正負號可隨意假設，但彎矩圖應畫在桿受拉的一側，圖中不標正負號。在剛節點處無外力偶作用時，兩桿端彎矩相等且受拉邊在同一側。

應用內力圖規律畫彎矩圖是一種較簡便的畫法，它能使彎矩圖畫得既快速又準確，但必須熟練掌握內力圖規律。

參考文獻：

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