兩個幾何公理引起的思考

黃炳福

初中數學教材里有兩個重要的公理：一個是“兩點間線段最短”，另一個是“垂線段最短”.它們對于解決動點問題中的路線最短問題是非常重要的工具.教者應多思考、多歸納，引起足夠重視.

1.計算一個動點問題中的路線最短

教材中提出的問題：在一條河l的同側有張莊A、李莊B，問在河邊的什么位置建水泵站，使安裝水管的長度和最短？

具體做法：如圖，作A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，點P為建水泵站的位置.

理由：連接PA，∵點A、A′關于l對稱

∴PA=PA′

又∵PA=PA′

∴PA+PB=PA′+PB=A′B，則A′B的長為PA+PB和的最小值.

當P在直線l上另一個位置P′都會有P′A′+P′B>A′B（兩點之間線段最短）.

思考1：已知一點P在∠AOB的內部，在OA，OB邊上分別取一點M，N使△PMN的周長最小（將軍飲馬問題）？

具體做法：如圖作P關于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″分別交OA、OB于M、N，則△PMN的周長最小.

理由：易證△PMN的周長為P′P″的長，由兩點之間線段最短可知△PMN的周長最小.

思考2：已知兩條線段AC與BD有唯一的公共點M，以A、B、C、D為頂點所構成的多邊形中，面積最大時，求該多邊形周長的最小值？分兩種情況討論.

①構成三角形時，設AC與BD的夾角為α，AC=a，BD=b，則S=absinα，當α=90°時S最大，即AC⊥BD.

∵C=AB+AD+BD=AB+AD+b

∴當AB+AD最小時，C最小.

作法：過點A作直線l//BD，作點B關于l的對稱點B′，連接DB′交l于A，此時C最小.

理由：∵BD=b，AB=AB′，AB+AD=BD′

利用兩點間線段最短可知C最小

∵直線l//BD，點B、點B′關于l對稱，

∴B′B⊥BD.

在Rt△B′BD中，BB′=2a，B′D==，

∴C最小值為b+.

②構成四邊形，易證AC⊥BD時，四邊形ABCD面積最大.

由①得，AB=AD時，AB+AD最小.

CD=CB時，CB+CD最小.

BA=BC時，BA+BC最小.

DA=DC時，DA+DC最小.

∴當AC和BD互相平分時，四邊形ABCD周長最小.

又∵AC=a，BD=b，

∴四邊形ABCD是邊長為 ?的正方形.

正方形ABCD周長=

易證

可知：構成多邊形為正方形時，周長最小.

2.計算兩個動點問題中的路線和最短

問題1：在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+BN的最小值是多少？

作法：作點B關于AD的對稱點B′，再作B′N⊥AB于N交AD于M，則MN+MB最小.如下圖：

理由：由對稱性可知BM=B′M.

∴BM+B′M=B′B

又∵B′N⊥AB

∴點B′到AB兩點的距離之和最小為B′N的長.

由兩點間線段最短和垂線段最短得點B在AC上，易證△B′NB為等腰直角三角形.

問題2：如圖已知矩形ABCD中，AB=12，AD=3，E、F分別是AB、DC邊上的兩個動點，則AF+FE+EC的最小值為多少？

作法：作A關于DC的對稱點A′，C關于AB的對稱點C′，連接AC，分別交DC，AB于F、E，則AF+FE+EC最小.如下圖所示.

理由：由對稱性可知：AF=A′F，CE=C′E，則AF+EF+EC=A′F+EF+EC′=A′C′.

根據兩點間線段最短可知A′C′的長為AF+EF+EC的最小值.

作C′M⊥AA′延長線于點M，易知AA′=9，MC′=12，

在RT△A′MC′中，A′C′==15.

在此就兩個公理的簡單應用列舉了一些實例，給大家研究路線最短問題提供了一個思路.路線最短問題是中考的熱點，并且是在實際應用中測量路線最短問題的一個重要工具，因此廣大師生應重視此知識點的教與學.

基金項目：陜西省教育規劃項目（SGH12447）.