探討靜力學中物體系統平衡問題的幾種類型及求解方法

周佳園

摘 要： 正確求解物體系統的平衡問題，是工程力學的一項重要內容。本文對物體系統平衡問題的幾種類型加以總結，并介紹相應求解方法。

關鍵詞： 物體系統 平衡問題 求解方法

物體系統平衡問題相對于單個物體平衡問題要復雜一些，學生在求解物體系統平衡問題時，常常會感覺無從下手，不知道如何求解。對于物體系統平衡問題與單個物體平衡問題的區別在于研究對象的選擇及解題的順序。研究對象可以是整體，也可以取單個或一個部分的物體系統，解題順序按照研究對象選擇的順序而定。本文把物體系統平衡問題分為幾種類型，并為每種類型提供解題方法，只要分清屬于哪種類型，并對癥下藥，問題便會迎刃而解。

類型一：以整體為研究對象未知力個數小于3個。如圖1所示，該物體系統中，包含3個構件AB、ED、CD，以整體為研究對象，A處固定鉸鏈2個約束反力，B處活動鉸鏈1個約束反力，總共3個約束反力，受力圖如圖2所示，可以直接列3個平衡方程求解。如有需要還可以以個體為研究對象，約束反力小于等于3個，可以列平衡方程求解。

類型二：以整體為研究對象，未知力個數大于3個，以個體為研究對象未知力個數小于等于3個。如圖3所示，物體系統包含AB、BC兩個桿件，已知均布載荷q、集中力F，以整體為研究對象，A處固定端約束3個約束反力，C處活動鉸鏈約束1個約束反力，未知力個數大于3個，此時以整體為研究對象列3個方程不能求解4個未知力。所以把個體拿出來畫受力圖分析，在求解時應該先取BC桿為研究對象，受力圖如圖4所示，因為BC桿上的未知力為3個，列平衡方程可以直接求解出來，而AB桿受力圖如圖5所示，未知力為5個，不能直接求解。以BC桿為研究對象，列平衡方程，求解出B、C處的約束反力，再以整體或者AB為研究對象就可以求出A兩處的約束反力。

類型三：以整體或以個體為研究對象，未知力個數大于3個，但是有3個未知力交于一點。如圖6所示，物體系統中有兩個構件，以整體為研究對象4個未知力，如圖7所示。以個體AD、BC為研究對象，受力圖如圖8、9所示，也都有4個未知力，無法用3個平衡方程求出4個未知力。

此時我們分析一下這個物體系統的受力圖，以BC為研究對象時，如圖8所示，4個未知力，列平衡方程無法全部求出，

我們回頭看一下問題之所以可以求解，是因為這道題目符合這樣一個特征，4個未知力中，有3個未知力交于一定，我們可以利用力矩式求出另一個未知力。所以我們在求解物體系統平衡問題時，一定要仔細觀察有沒有3個未知力交于一點的情況，這是我們求解問題的突破口。這道題目我們還可以：（1）先以整體為研究對象，因為F交于一點A，以A點為矩心列力矩式方程，則可以求出F；（2）再以BC為研究對象，列方程求解出B、C處的約束反力；（3）最后以整體或者AC為研究對象，求出A處的約束反力。此處不再列出方程式。

類型四：不滿足以上三種類型，這一類問題在靜力學中無法求解，需要結合材料力學的知識，創建補充方程求解，這一類型本文不加以介紹。

綜上所述，在求解物體系統平衡問題時，首先不要著急，靜下心來，以整體為研究對象畫出受力圖，然后把系統里的每個個體的受力圖畫出來，再按照上面的三種類型分析，屬于哪一種類型，選擇對應的解題方法即可。