例題分析解初中函數的常用思想方法歸納

潘志偉

摘 要： 函數問題是初中數學基礎知識的重要組成部分，也是每年中考必考的一大熱點.本文通過例題分析，結合函數的知識范疇，對初中函數常用的思想方法作歸納.

關鍵詞： 函數 例題 思想方法

函數問題是初中數學基礎知識的重要組成部分，也是每年中考必考的一大熱點.其中蘊含的思想方法極為豐富，對學生觀察、分析、解決問題的能力都有十分明顯的提升作用.初中函數介紹了有關函數的一些最基礎、最初級的知識，為學習高中函數知識打下了堅實的基礎.本文結合初中函數的知識范疇，對解函數題常用的思想方法作簡單的歸納及應用.

一、待定系數法

該方法主要用于求一次函數（正比例函數）、反比例函數、二次函數的解析式.它的一般步驟是（一設、二列、三解、四還原）：（1）先設待求函數關系式，其中包括未知的系數.（2）把自變量與函數的對應值代入函數關系式中，得到關于待定系數的方程或方程組.（3）解方程（組）求出待定系數的值.（4）寫出函數關系式.例如已知一次函數的圖像經過點（-1，1）和點（1，-5），求這個函數的解析式.簡析：本題考查用待定系數法求一次函數解析式.解：設所求函數關系式為：y=kx+b由題意，得1=-k+b-5=k+b.解這個方程組，得k=-3b=-2，這個函數解析式為：y=-3x-2.點評：用待定系數法求函數解析式或待定系數是每年中考考查的一大熱點，它的解題思路就是按四個步驟進行.

二、數形結合法

該方法主要用于解答含有幾何圖形的函數題，這種類型的函數題最大的特點是數形結合，即用代數的方法研究幾何問題.例如（2006年泉州中考18題）如左圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC的長為常數，點P從起點C出發，沿CB向終點B運動，設點P所走過路程CP的長為x，△APB的面積為y，則下列圖像能大致反映y與x之間的函數關系的是（？搖 ？搖）

簡析：解決本題的關鍵是讀懂圖意，表示出y與x的關系式，從而判斷圖像的形狀.

解答：設BC的長度為常數k，則y=■×2×k-■×2x=k-x，那么此函數為一次函數，因為x系數小于0，所以應是減函數.故選C.點評：把幾何圖形放在平面直角坐標系中，將函數的概念與幾何知識巧妙結合，解這種類型的函數題，常用數形結合法，這種方法常常用化“虛”為“實”，化“難”為“易”.

三、配方法

對于任何一個二次函數都可以通過配方法把原來的二次函數通過配方變成頂點式y=a（x-h）■+k的形式，則得到頂點坐標（h，k），對稱軸直線x=h；若a>0，函數y有最小值k；若a<0時，函數y有最大值為k.例如某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進價為每箱40元，生產廠家要求每箱售價在40元～70元之間.市場調查發現：若每箱發50元銷售，平均每天可售出90箱，價格每降低1元，平均每天多銷售3箱；價格每升高1元，平均每天少銷售3箱.（1）寫出售價x（元/箱）與每天所得利潤w（元）之間的函數關系式；（2）每箱定價多少元時，才能使平均每天的利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）依題意得：y=（x-40）[90+3（50-x）]或y=（x-40）[90-3（x-50）]；（2）由（1）得：y=（x-40）[90+3（50-x）]=-3x■+360x-900=-3（x-60）■+1200，∵a=-3<0拋物線開口向下，又40

四、分類討論法

該方法解函數題的關鍵在于列出函數關系式，再進行分類討論.

例如：甲、乙兩旅行社服務質量相同，組織旅游去A地價格是每人400元，如果10人以上集體購票，甲旅行社給予每位游客七五折優惠；乙旅行社在優惠320元的基礎上，每人享受8折優惠.試分別列出甲、乙兩集體組團去A地的總收費用y（元）與參游人數x（人）的函數關系式，并幫助選擇哪家旅行社的總費用較少.解：依題意得y■=400×0.75x即y■=300x，y■=400×0.8x-320即y■=320x-320，分類討論：①當y■=y■時，解得x=16；②當y■>y■時，解得x<16；③當y■16，所以，當游客人數為16人時，選擇甲或乙兩旅行社費用相同；當游客人數在10—15人時，應選擇乙旅行社；當游客人數多于16人時，應選擇甲旅行社.點評：用分類討論法解函數題一般分三步：第一，根據題目需要確定分類討論的對象；第二，針對討論對象進行合理的分類討論；第三，對討論結果進行歸納合并，綜合得出結論.

五、跨學科聯系滲透法

該方法主要用于解決跨學科的函數問題.這種類型的函數題常與物理、化學進行有機滲透，體現了數學作為工具學科的本質特征.

例如：已知二氧化碳的密度p（kg/m■）與體積V（m■）的函數關系式是p=■.求當V=5m■時，二氧化碳的密度p，并說明二氧化碳的密度p隨體積V的增大或減小而變化的情況，簡析：這是一題應用反比例函數性質與物理相結合應用題.解：依題意得p=■=1.98（kg/m■），∵k>0，∴當CO■體積增大密度減小，體積減小密度增大.點評：跨學科函數題的關鍵是熟練進行學科知識聯系，解決相應跨學科問題的知識間的相互滲透.

總之，函數問題是歷屆中考的重要考點，解函數題的思想方法還有很多，如取特殊值法、函數與方程轉化法等.本文歸納了一些常見的基本思想方法，這些方法必須掌握好.