等差等比數列性質的延伸

王永梅

摘 要： 本文分析了等差數列和等比數列兩類特殊數列的子數列性質及與原數列的關系，給出了子數列性質的某些證明.

關鍵詞： 等差子數列 等比子數列 性質

數列在整個高中教學中占著重要位置.等差數列等比數列在歷年的高考與高職高考中都是非常重要的題型.同時，等差、等比數列又是一種高等數學計算方式，可用在計算機編程等語言里面.

一、等差數列的子數列性質

（1）等差數列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中，去掉前m-1項后組成一個新數列：a■，a■，…，a■，…仍然是一個等差數列.

（2）等差數列中每隔相等的“距離”取出的項依次組成的新的數列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍然是公差為md的等差數列.如偶數列{a■}是公差為2d的子數列、奇數列{a■}是公差為2d的子數列.

（3）若數列{a■}是等差數列，則{a■+a■}，{a■-a■}，{a■+a■+a■，a■+a■+a■，a■+a■+a■，…}，…仍為等差數列，公差分別為2d，0，9d.

（4）若數列a■為等差數列，則依次每k項之和也是等差數列，即S■，S■-S■，S■-S■，…也是等差數列.

性質（4）將題目求解簡化，看以下例題.

例題1：已知一個等差數列的前10項和為310，前20項和為1220，

1.由此可以確定求其前n項和的公式嗎？

2.S■，S■，S■這三者之間有何關系？

3.求S■.

解：1.由性質（4）可知：d■=S■-S■=k■d其中k=10

有（1220-310）-310=100d

得d=6帶入10a■+10×92d=310

得a■=4，S■=3n2+n

2.S■，S■，S■這三者之間的關系.由性質4知S■，S■-S■，S■-S■這三者是等差數列，

公差d■=k■d=100×6=600.

3.求S■.已知（S■-S■）-（S■-S■）=d■，

有S■=600+2S■-S■=600+2×1220-310=2730.

可見，利用性質（4）解題大大簡化了運算步驟，減少了運算量.

二、等比數列的子數列性質

（1）在公比為q的等比數列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中去掉前m-1項后，所得的數列：a■，a■，…，a■，…還是等比數列.

（2）等比數列a■，a■，…，a■，…中每隔相等的“距離”取出項，依次組成的新的數列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍為等比數列，公比為q■.

（3）若數列{a■}是等比數列，則{a■a■}，{a■a■}，{a■a■a■，a■a■a■，a■a■a■，…}仍為等比數列，公差分別為q■，q■，q■….

（4）若數列{a■}是等比數列，則依次每k項之和也是等比數列，即S■，S■，S■-S■，…也是等比數列.

例題2：已知公比是不為1的等比數列{b■}，若S■=48，S■=60，求S■.

解：S■，S■，S■這三者之間的關系由性質4知

S■，S■-S■，S■-S■是等比數，

公比q■=S■-S■S■-S■=S■-S■S■

于是S■-60×60-48=60-48×48

解得S■=63.

本文研究了等差、等比數列子數列的性質，便于學生在以后的學習過程中能從不同的角度看待問題、解決問題，從而提高學生的思維能力，培養學生的觀察歸納能力.

參考文獻：

[1]丁月嬌.等差數列性質及其應用.南京師范大學泰州學院，2012.

[2]趙堅強.等差數列與等比數列性質[J].內江科技，2008（03）.